Grup hingga dari himpunan transformasi segi-n beraturan dengan n≥3

INDONESIA:

Transformasi pada segi-n beraturan yang memetakan bangun ke dirinya sendiri terdiri atas trasnformasi rotasi dan refleksi. Himpunan transformasi tersebut bersama operasi komposisi membentuk suatu struktur aljabar yang dapat dikaji menggunakan teori grup. Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji apakah himpunan transformasi pada segi-3 beraturan, segi-4 beraturan, dan segi-5 beraturan dengan operasi komposisi membentuk grup serta merumuskan generalisasi himpunan transformasi pada segi-n beraturan dengan n≥3. Penelitian ini menggunakan metode studi pustaka yang dilakukan melalui kajian terhadap berbagai referensi yang berkaitan dengan transformasi geometri, teori grup, dan grup dihedral. Analisis dilakukan melalui identifikasi himpunan transformasi pada segi-3, segi-4, dan segi-5 beraturan, penyusunan tabel Cayley, serta pengujian pemenuhan aksioma grup yang meliputi sifat tertutup, keberadaan unsur identitas, sifat asosiatif, dan unsur invers. Hasil penelitian menunjukkan bahwa himpunan transformasi pada segi-3 beraturan membentuk grup dihedral berorde 6, pada segi-4 beraturan membentuk grup dihedral berorde 8, dan pada segi-5 beraturan membentuk grup dihedral berorde 10. Pola yang diperoleh dari ketiga kasus tersebut selanjutnya digunakan untuk menggeneralisasi himpunan transformasi pada segi-n beraturan. Diperoleh bahwa segi-n beraturna terdapat n transformasi rotasi dan n transformasi refleksi yang membentuk grup dihedral D_n berorde 2n. Dengan demikian, struktur grup yang diperoleh dari segi-3, segi-4, dan segi-5 beraturan merupakan kasus khusus dari grup dihedral D_n pada segi-n beraturan.

ENGLISH:
Transformations of a regular n-gon that map the figure onto itself consist of rotations and reflections. The set of these transformations together with the composition operation forms an algebraic structure that can be studied using group theory. This study aims to investigate whether the sets of transformations of regular triangles, regular quadrilaterals, and regular pentagons equipped with the composition operation form groups and to formulate a generalization of the transformation set of a regular n-gon for n≥3. This study employs a library research method through the examination of various references related to geometric transformations, group theory, and dihedral groups. The analysis is carried out by identifying the sets of transformations of regular triangles, regular quadrilaterals, and regular pentagons, constructing Cayley tables, and verifying the group axioms, namely closure, the existence of an identity element, associativity, and the existence of inverse elements. The results show that the transformation set of a regular triangle forms a dihedral group of order 6, the transformation set of a regular quadrilateral forms a dihedral group of order 8, and the transformation set of a regular pentagon forms a dihedral group of order 10. The pattern obtained from these three cases is then used to generalize the transformation set of a regular n-gon. It is found that a regular n-gon has n rotational transformations and n reflection transformations that form the dihedral group D_n of order 2n. Therefore, the structures obtained from the regular triangle, regular quadrilateral, and regular pentagon are special cases of the dihedral group D_n on a regular n-gon.

ARABIC:
أنديني، نوفيتا بوتري سامسيار. .2026 المجموعات النهائية من مجموعات التحويلات المضلعةn- المنتظمة ذاتn≥3 أطروحة تخرج. برنامج دراسة الرياضيات، كلية العلوم والتكنولوجيا، جامعة مولانا مالك إبراهيم الإسلامية الحكومية في مالانغ.
المشرفان (I) إنتان نيسفولايلة، ماجستير في العلوم. (II) إرنا هيراواتي، ماجستير في التربية.

الكلمات المفتاحية: التحويلات الهندسية، المجموعة المنتهية، المجموعة الديهيدرالية، عملية التركيب، المضلع− منتظم

تتألف التحويلات على المربع المنتظم n-ا لتي تعكس الشكل إلى نفسه من تحويلات الدوران والانعكاس. وتشكل مجموعة التحويلات هذه، إلى جانب عملية التركيب، بنية جبرية يمكن دراستها باستخدام نظرية المجموعات. تهدف هذه الدراسة إلى التحقق مما إذا كانت مجموعة التحويلات على الوجه المنتظم3- ، والوجه المنتظم4- ، والوجه المنتظم5- مع عملية التركيب تشكل مجموعة، وكذلك صياغة تعميم لمجموعة التحويلات على الوجه المنتظمn- مع.n≥3 تستخدم هذه الدراسة طريقة الدراسة المكتبية التي أجريت من خلال مراجعة لمختلف المراجع المتعلقة بالتحويلات الهندسية ونظرية المجموعات والمجموعات الديهيدرالية. أُجري التحليل من خلال تحديد مجموعة التحويلات في المضلعات المنتظمة3- و4- و5- ، وإعداد جدول كايلي، واختبار استيفاء أكسيومات المجموعة التي تشمل خاصية الإغلاق، ووجود عنصر الهوية، وخاصية التجميع، وعنصر العكس. أظهرت نتائج البحث أن مجموعة التحويلات على الوجه3- المنتظم تشكل مجموعة ديهيدرالية من الرتبة6 ، وعلى الوجه4- المنتظم تشكل مجموعة ديهيدرالية من الرتبة8 ، وعلى الوجه5- المنتظم تشكل مجموعة ديهيدرالية من الرتبة10 . ثم استُخدمت الأنماط المستخلصة من هذه الحالات الثلاث لتعميم مجموعة التحويلات على الوجهn- المنتظم. وقد تبين أن المضلعةn- المنتظمة تحتوي علىn تحويلات دورانية وn تحويلات انعكاسية دورانية وn تحويلات انعكاسية تشكل مجموعة ديهيدراليةDn من الرتبة2n . وبذلك، فإن بنية