Model Predator-Prey dengan Respon Fungsional Holling Type II

INDONESIA:

Model predator-prey merupakan salah satu model matematika yang menggambarkan interaksi antarspesies dalam ekosistem yang sering digunakan dalam dinamika populasi. Pada penelitian ini digunakan model dengan respon fungsional Holling Type II, yaitu laju pemangsaan yang meningkat dan kemudian mengalami kejenuhan karena adanya waktu penanganan mangsa (handling time). Penelitian ini bertujuan menganalisis kestabilan model predator-prey tritrofik tanpa mempertimbangankan waktu tunda. Model dinondimensionalisasikan untuk memperoleh sistem yang lebih sederhana. Analisis kestabilan dilakukan menggunakan matriks Jacobian dan kriteria Routh-Hurwitz, yang kemudian dilakukan simulasi numerik menggunakan software Maple. Pada simulasi pertama, sistem menunjukkan keadaan stabil dengan perilaku spiral menuju titik kesetimbangan, yang didukung oleh pemilihan nilai parameter m pada rentang kestabilan sistem. Namun, pada simulasi kedua ketika nilai parameter m diubah menjadi m=4.35, sistem kehilangan kestabilannya dan menunjukkan osilasi periodik, sehingga perilaku dinamika menuju limit cycle. Hal ini menunjukkan bahwa perubahan parameter biologis tertentu mengakibatkan perubahan ekosistem dari kondisi stabil menuju ketidakstabilan, sehingga parameter m berperan penting dalam pengendalian kestabilan populasi dalam rantai makanan.

ENGLISH:

The predator-prey model is a mathematical model that describes interspecies interactions in ecosystems and is often used in population dynamics. This research employs a predator-prey model with a Holling Type II functional response, in which the predation rate increases rapidly and then saturates due to the handling time. The aim of this study is to analyse the stability of a tritrophic predator-prey system without considering time delay. The model was nondimensionalized to obtain a simpler form. Stability analysis was conducted using the Jacobian matrix and the Routh-Hurwitz criteria, followed by numerical simulations using Maple software. In the first simulation, the system showed a stable state with spiral behaviour towards the equilibrium point, supported by the selection of the parameter value m within the stability range of the system. However, in the second simulation, when the parameter value m was changed to m=4.35, the system lost its stability and exhibited periodic oscillations, indicating dynamic behavior toward a limit cycle. These findings demonstrate that variations in certain biological parameters can shift the ecosystem from a stable to an unstable state, thus highlighting the important role of parameter m in controlling population stability within the food chain.

ARABIC:

نموذج المفترس والفريسة هو نموذج رياضي يصف التفاعلات بين الأنواع في النظم البيئية، ويُستخدم غالبًا في ديناميكيات السكان. استخدمت هذه الدراسة نموذجًا باستجابة وظيفية من نوع هولينغ الثاني، أي معدل افتراس متزايد ثم تشبع نتيجةً لوجود وقت معالجة الفريسة. هدفت هذه الدراسة إلى تحليل استقرار نموذج المفترس والفريسة ثلاثي المستويات الغذائية دون مراعاة زمن التأخير. تم تبسيط النموذج ليصبح بلا أبعاد. أُجري تحليل الاستقرار باستخدام مصفوفة جاكوبي ومعيار راوث-هرويتز، ثم أُجريت محاكاة عددية باستخدام برنامج Maple. في المحاكاة الأولى، أظهر النظام حالة مستقرة مع سلوك حلزوني نحو نقطة التوازن، وهو ما تم تأكيده باختيار قيمة المعامل m ضمن نطاق استقرار النظام. مع ذلك، في المحاكاة الثانية، عندما تم تغيير قيمة المعامل m إلى m = 4،35 ، فقد النظام استقراره وأظهر تذبذبات دورية، مما أدى إلى سلوك ديناميكي نحو الدورة الحدية. يشير هذا إلى أن التغيرات في بعض المعايير البيولوجية تؤدي إلى تغيرات في النظام البيئي من حالة مستقرة إلى حالة غير مستقرة، بحيث يلعب المعامل m دورًا مهمًا في التحكم في استقرار السكان في السلسلة الغذائية.