Teorema titik tetap untuk empat pemetaan pada ruang metrik parsial

INDONESIA:

Ruang metrik parsial merupakan bentuk perluasan dari ruang metrik. Perbedaan metrik dengan metrik parsial dapat dilihat dalam hal jarak antara suatu titik dengan dirinya sendiri (self distance). Jika dalam ruang metrik jarak tersebut selalu bernilai nol, maka pada ruang metrik parsial nilainya tidak harus nol. Teorema titik tetap di ruang metrik parsial merupakan teorema ketunggalan dari suatu titik tetap pada suatu pemetaan yang disebut pemetaan kontraktif lemah dari ruang metrik parsial lengkap ke dalam dirinya sendiri. Sebelum membuktikan ketunggalan titik tetap, terlebih dahulu perlu ditunjukkan bahwa ruang metrik parsial bersifat lengkap. Suatu ruang dikatakan lengkap apabila setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen. Pada penelitian ini, akan dibahas mengenai bukti teorema titik tetap untuk empat pemetaan yang merupakan pemetaan diri, yaitu A,B,S,T pada ruang metrik parsial. Metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka dengan mengumpulkan sumber yang relevan dengan topik. Dari hasil penelitian dapat dibuktikan bahwa teorema titik tetap untuk empat pemetaan tersebut menjamin keberadaan titik tetap yang bersifat tunggal dalam ruang metrik parsial. Dalam pembuktian teorema, menggunakan teorema pemetaan kontraktif lemah.

ENGLISH:

A partial metric space is a generalization of a metric space. The difference between a metric and a partial metric lies in the concept of self-distance, that is, the distance from a point to itself. In a metric space, this distance is always zero, whereas in a partial metric space, it is not necessarily zero. The fixed point theorem in partial metric spaces is a uniqueness theorem concerning a fixed point of a mapping known as a weakly contractive mapping from a complete partial metric space into itself. Before proving the uniqueness of the fixed point, it is necessary to show that the partial metric space is complete. A space is said to be complete if every Cauchy sequence in it converges. This study discusses the proof of the fixed point theorem for four self-mappings, namely A,B,S and T, in a partial metric space. The research method used is a literature review by collecting sources relevant to the topic. The results of the study demonstrate that the fixed point theorem for the four mappings guarantees the existence of a unique fixed point in the partial metric space. In proving the theorem, the weakly contractive mapping theorem is applied.

ARABIC:

الفضاء المتري الجزئي هو امتداد للفضاء المتري. وظهر الفرق بين الفضاء المتري والفضاء المتري الجزئي قي مسافة النقطة إلى نفسها. ففي الفضاء المتري تكون هذه المسافة دائما صفرا, آما في الفضاء المتري الجزئي فلا يشترط آن تكون كذلك. إن مبرهنة النقطة الثابتة في الفضاء المتري الجزئي هي مبرهنة تتعلق بوحدانية النقطة الثابتة لتطبيق يسمي التطبيق لانكماشي الضعيف من الفضاء المتري الجزئي التام إلى نفسه. وقبل إثبات وحدانية النقطة الثابتة, يحب أولأ إثبات آن الفضاء المتري الجزئي تام. يتناول هذا البحث إثبات النقطة الثابتة لأربعة تطبيقات ذاتية, وهي ا,ب,س,ت في الفضاء المتري الجزئي. ويقال إن الفضاء تام إذا كانت كل متتالية كوشي فيه متقاربه. منهج البحث المستخدم هو الدراسة النظرية من خلال جمع المصادر المرتبطة بالموضوع. ومن نتائج البحث يمكن إثبات أن مبرهنة النقطة الثابتة لتلك التطبيقات لأربعة تضمن وجود نقطة ثابتة وحية قي الفضا المتري الجزئي. وقد تم في إثبات المبرهنة استخدام مبرهنة التطبيق الانكماشي الضعيف