Solusi Numerik dengan metode Runge Kutta pada model Vibrasi String

ABSTRAK:

Fenomena vibrasi string pada jembatan gantung dalam model McKenna (1999) menggambarkan osilasi akibat gaya eksternal dan redaman ringan, yang dapat mempengaruhi kestabilan dan keamanan struktur. Model matematika untuk masalah vibrasi ini dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial biasa orde dua untuk sudut lendutan θ ̈(t). Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis perilaku model sudut lendutan dan menyelesaikannya secara numerik menggunakan metode Runge-Kutta Orde Empat. Model diselesaikan pada interval waktu t=[0,20] dengan parameter K=1000,m=2500,δ=0.01,λ=0.06, dan μ=1.2, serta langkah h=0.001, dan kondisi awal θ(0)=1.2,θ ̇(0)=0. Hasil iterasi kedua yakni pada waktu t=0.001 menunjukkan nilai θ_1=1.199964002 dan θ_2=-0.01439857. Perbandingan grafik solusi Runge Kutta Orde Empat terhadap solusi eksak menghasilkan galat 0.0115162666. Berdasarkan hal ini, metode Runge-Kutta mampu memberikan pendekatan yang cukup baik terhadap solusi eksaknya. Dengan hasil tersebut, metode ini dapat dikatakan efektif dalam menyelesaikan model sudut lendutan θ ̈ McKenna(1999) dan berpotensi digunakan dalam analisis sistem dinamis teknik seperti struktur jembatan gantung yang dideskripsikan pada penelitian McKenna.

ABSTRACT:

The phenomenon of string vibration in suspension bridges, as described in McKenna's model (1999), illustrates oscillations caused by external forces and light damping, which may affect the stability and safety of the structure. The mathematical model for this vibration problem is expressed as a second-order ordinary differential equation for the angular displacement θ ̈(t). This study aims to analyze the behavior of the angular displacement model and solve it numerically using the Fourth-Order Runge-Kutta (RK4) method. The model is solved over the time interval t=[0,20] with parameters K=1000,m=2500,δ=0.01,λ=0.06, and μ=1.2, using a time step h=0.001, and initial conditions θ(0)=1.2,θ ̇(0)=0. The second iteration result at t=0.001 gives θ_1=1.199964002 and θ_2=-0.01439857. A comparison between the RK4 solution graph and the exact solution shows a numerical error of 0.0115162666. These results indicate that the Runge-Kutta method provides a good approximation to the exact solution. Therefore, this method is considered effective for solving McKenna’s angular displacement model and has potential applications in dynamic system analysis, such as the suspension bridge structures described in McKenna’s research.

مستخلص البحث:

تصور ظاهرة اهتزاز الخيط في الجسور المعلقة في نموذج ماكينا )1999( تذبذبات ناتجة عن قوى خارجية وتخميد خفيف، مما قد يؤثر على استقرار وأمان البنية. يتم التعبير عن النموذج الرياضي لهذه الظاهرة في شكل معادلة تفاضلية عادية من الرتبة الثانية لزاوية الانحراف θ ̈(t). يهدف هذا البحث إلى تحليل سلوك نموذج زاوية الانحراف وحلّه عددياً باستخدام طريقة رونج-كوتا من الرتبة الرابعة. تم حل النموذج خلال الفترة الزمنية t=[0,20] باستخدام المعطيات: K = 1000، m = 2500، δ = 0.01، λ = 0.06، μ = 1.2، وخطوة h = 0.001، مع الشروط الابتدائية θ(0) = 1.2، (θ̇) ̇(0) = 0. أظهرت نتائج التكرار الثاني عند t = 0.001 أن θ_1 = 1.199964002 ، 〖θ 〗_2= -0.01439857. أظهر الرسم البياني للمقارنة بين الحل العددي بطريقة رونج-كوتا والحل التحليلي خطأً قدره 0.0115162666. ومن خلال ذلك، تبيّن أن طريقة رونج-كوتا توفر تقريبًا جيدًا للحل التحليلي، مما يجعلها.. فعالة في حل نموذج زاوية الانحراف لماكينا (1999)، ولها إمكانية في تحليل الأنظمة الديناميكية الهندسية مثل هياكل الجسور المعلقة الموضحة في بحث ماكين