Uji kekonvergenan deret tak hingga pada bilangan real

ABSTRAK

Kekonvergenan deret tak hingga menyatakan bahwa sebuah deret ∑a_k konvergen jika jumlah parsialnya mendekati nilai tertentu seiring bertambahnya jumlah suku. Penelitian ini membahas uji kekonvergenan deret tak hingga pada Bilangan Real, dengan tujuan membuktikan teorema-teorema kekonvergenan deret tak hingga pada Bilangan Real. Metode yang digunakan dalam penelitian ini meliputi uji perbandingan, uji integral, uji rasio, dan uji akar. Salah satu teorema utama yang dibuktikan adalah Kriteria Kekonvergenan Cauchy, yang menyatakan bahwa sebuah deret ∑a_k konvergen jika dan hanya jika untuk setiap Bilangan Real ε>0, terdapat N∈N sehingga |a_(k+1)+a_(k+2)+⋯+a_(k+p) |<ε , untuk setiap k≥N dan setiap p∈N. Hasil penelitian ini adalah berhasil dibuktikannya teorema-teorema deret tak hingga pada Bilangan Real dengan berbagai metode uji kekonvergenan. Pembuktian ini memberikan pemahaman yang lebih mendalam tentang sifat-sifat deret konvergen dan aplikasi praktisnya dalam berbagai bidang matematika, dan dari penelitia ini diharapkan memberikan kontribusi yang signifikan dalam pengembangan teori matematika dasar dan menjadi referensi bagi peneliti dan mahasiswa dalam memahami konsep-konsep dasar dalam analisis matematika, sehingga pada penelitian lebih lanjut mengenai uji kekonvergenan deret tak hingga pada Bilangan Real dapat diperluas dengan menggunakan metode kekonvergenan lainnya dan menerapkannya pada bilangan lainnya selain Bilangan Real, seperti bilangan kompleks, dan lainnya.

ABSTRACT

The convergence of infinite series states that a series ∑a_k converges if its partial sum approaches a certain value as the number of terms increases. This research discusses the test of convergence of infinite series on Real Numbers, with the aim of proving the theorems of convergence of infinite series on Real Numbers. The methods used in this study include comparison test, integral test, ratio test, and root test. One of the main theorems proved is the Cauchy Convergence Criterion, which states that a sequence ∑a_k converges if and only if for every real number ε>0, there exists N∈N such that |a_(k+1)+a_(k+2)+⋯+a_(k+p) |<ε for every k≥N and every p∈N. The result of this research is the successful proof of infinite series theorems on Real Numbers with various convergence test methods. This proof provides a deeper understanding of the properties of convergent series and their practical applications in various fields of mathematics, and from this research is expected to make a significant contribution in the development of basic mathematical theory and become a reference for researchers and students in understanding basic concepts in mathematical analysis, so that further research on the convergence test of infinite series on Real Numbers can be extended by using other convergence methods and applying them to other numbers besides Real Numbers, such as complex numbers, and others.

مستخلص البحث

تنص نظرية تقارب المتسلسلات غير المنتهية على أن المتسلسلة∑a_k تتقارب إذا اقترب مجموعها الجزئي من قيمة معينة كلما زاد عدد الحدود. يناقش هذا البحث اختبار تقارب المتسلسلات غير المنتهية على الأعداد الحقيقية، بهدف إثبات نظريات تقارب المتسلسلات غير المنتهية على الأعداد الحقيقية. تشمل الطرق المستخدمة في هذه الدراسة اختبار المقارنة، واختبار التكامل، واختبار النسبة، واختبار الجذر. إحدى النظريات الرئيسية التي تم إثباتها هي معيار كوتشي للتقارب، والذي ينص على أن المتسلسلة ∑a_k تتقارب إذا وفقط إذا كان لكل عدد حقيقي ε>0، يوجد N∈N بحيث |a_(k+1)+a_(k+2)+⋯+a_(k+p) |<ε ، لكل k≥N ولكل p∈N. نتيجة هذا البحث هو البرهان الناجح لنظريات المتسلسلة اللانهائية على الأعداد الحقيقية مع طرق اختبار التقارب المختلفة. وتوفر هذه البراهين فهماً أعمق لخصائص المتسلسلات المتقاربة وتطبيقاتها العملية في مختلف مجالات الرياضيات، ومن المتوقع أن يقدم هذا البحث مساهمة كبيرة في تطوير النظرية الرياضية الأساسية ويصبح مرجعاً للباحثين والطلاب في فهم المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، بحيث يمكن توسيع نطاق البحث في اختبار تقارب المتسلسلات غير المنتهية على الأعداد الحقيقية باستخدام طرق تقارب أخرى وتطبيقها على أعداد أخرى إلى جانب الأعداد الحقيقية كالأعداد المركبة وغيرها.