Sifat G-konvergen dan G-Cauchy pada barisan di ruang G-metrik

ABSTRAK

Ruang G-metrik merupakan salah satu bentuk perumuman dari ruang metrik dasar yang dipelajari di dalam analisis fungsional. Barisan G-konvergen merupakan barisan konvergen di ruang G-metrik, dan barisan G-Cauchy merupakan barisan Cauchy di ruang G-metrik. Pada skripsi ini, penulis bertujuan untuk membahas hubungan antara ruang metrik dengan ruang G-metrik, barisan konvergen di ruang metrik dengan barisan G-konvergen, dan barisan Cauchy di ruang metrik dengan barisan G-Cauchy. Penelitian yang akan dilakukan adalah dengan membuktikan terlebih dahulu bahwasannya setiap G-metrik dan membuktikan bahwasannya setiap ruang G-metrik merupakan ruang metrik. Kemudian setelah kedua pernyataan tersebut terbukti, akan dibuktikan bahwasannya setiap barisan konvergen di ruang metrik merupakan barisan G-konvergen dan sertiap barisan Cauchy di ruang metrik merupakan barisan G-Cauchy. Sebagai hasilnya, penulis dapat membuktikan sifat-sifat barisan G-konvergen dan barisan G-Cauchy.

ABSTRACT

G-metric spaces are a generalized form of the basic metric space in functional analysis. G-convergent sequences are convergent sequences in G-metric spaces, and G-Cauchy sequences are Cauchy sequences in G-metric spaces. In this paper, the author intends to discuss the relationship between metric spaces and G-metric spaces, convergent sequences in metric spaces and G-convergent sequences, and Cauchy sequences in metric spaces and G-Cauchy sequences. The research will begin by proving that every metric space is a G-metric space and proving that all G-metric spaces are metric spaces too. Then, after both statements are proven, it will be shown that every convergent sequence in a metric space is a G-convergent sequence and every Cauchy sequence in a metric space is a G-Cauchy sequence. As a result, the author can prove the properties of G-convergent sequences and G-Cauchy sequences.

مستخلص البحث

الفضاءات G-المترية هي إحدى الصور المعممة للفضاءات المترية الأساسية التي تُدرس في التحليل الوظيفي. الخطوط G-المتقاربة هي الخطوط المتقاربة في الفضاءات -Gالمترية ، الخطوط G-الكاوشي هي الخطوط الكاوشي في الفضاء-Gالمترية. يهدف المؤلف في هذا البحث إلى مناقشة العلاقة بين الفضاءات المترية والفضاءات G-المترية، والخطوط المتقاربة في الفضاءات المترية مع الخطوط G-المتقاربة، وخطوط كاوشي في الفضاءات المترية مع الخطوط G-الكاوشي. وتم إجراء البحث من خلال إثبات أن كل الفضاءات المترية هي الفضاءات G- المترية وإثبات أن كل الفضاءات -Gالمترية هي الفضاءات المترية. ثم بعد الإثبات كلتا العبارتين، تم إثبات أن كل الخطوط المتقاربة في الفضاءات المترية هي الخطوط G-المتقاربة وكل الخطوط الكاوشي في الفضاءات المترية هي الخطوط G-الكاوشي. والنتيجة، يمكن للمؤلف إثبات خصائص الخطوط G-المتقاربة والخطوط G-الكاوشي.