Sifat Rantai Naik pada Modul r-Noetherian serta Keterkaitan Modul r-Noetherian dengan Modul Noetherian dan Modul Hampir Noetherian

ABSTRAK

Modul merupakan struktur aljabar yang dibentuk dari grup Abelian. Modul atas suatu ring adalah grup abelian yang dilengkapi perkalian dengan skalar dari ring yang memenuhi syarat-syarat tertentu. Suatu modul merupakan modul Noetherian jika modul memenuhi kondisi rantai naik (ascending chain condition) atas submodulnya. Sebuah R-modul M disebut modul hampir Noetherian jika setiap submodul sejati di M dibangkitkan secara berhingga. Terdapat sebuah kelas baru yakni Modul r-Noetherian. Diketahui jika R adalah sebuah ring dan M adalah sebuah R-modul, M dikatakan sebuah modul r-Noetherian jika setiap r-submodul dari M dibangkitkan secara berhingga. Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji sifat rantai naik pada modul r-Noethetian serta keterkaitan modul r-Noetherian dengan modul Noetherian dan modul hampir Noetherian.

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kualitatif. Penelitian ini menggunakan pendekatan studi literatur. Adapun tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu diawali dengan melengkapi pembuktian lemma yang berkaitan rantai naik pada Modul r-Noetherian Selanjutnya, Melengkapi pembuktian proposisi mengenai keterkaitan modul r-Noetherian dengan modul Noetherian dan modul hampir Noetherian. Proses pembuktiannya akan terdiri dari dua tahap, yang pertama jika M adalah modul Noetherian, maka M adalah modul hampir Noetherian. Kedua, jika M adalah modul hampir Noetherian, maka M adalah modul r-Noetherian. Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan diperoleh bahwa Sifat rantai naik pada modul r-Noetherian adalah setiap barisan rantai naik dari r-submodul pada modul r-Noetherian akan berhenti pada suatu langkah berhingga. Selanjutnya, keterkaitan modul r-Noetherian dengan modul Noetherian dan modul hampir Noetherian adalah saling subset, yaitu Modul Noetherian ⊆ Modul Hampir Noetherian ⊆ Modul r-Noetherian.

ABSTRACT

Modules are algebraic structures formed from Abelian groups. A module over a ring is an abelian group equipped with multiplication by a scalar from the ring that satisfies certain conditions. A module is a Noetherian module if it satisfies the ascending chain condition on its submodules. An R -module M is called an almost Noetherian module if every true submodule in M is finitely generated. There is a new class of r-Noetherian modules. Suppose R is a ring and M is an R-module, M is said to be an r-Noetherian module if every r-submodule of M is finitely generated. This research aims to study the ascending chain property of r-Noetherian module and the relation of r-Noetherian module with Noetherian module and almost Noetherian module.

The method used in this research is qualitative. This research uses a literature study approach. The stages carried out in this study are starting with completing the proof of the lemma relating the ascending chain on the r-Noetherian Module Furthermore, completing the proof of the proposition regarding the relationship of the r-Noetherian module with the Noetherian module and the almost Noetherian module. The proof process will consist of two stages, first if M is a Noetherian module, then M is an almost Noetherian module. Second, if M is an almost Noetherian module, then M is an r-Noetherian module. Based on the results of the research that has been done, it is obtained that the nature of the ascending chain on the r-Noetherian module is that every ascending chain line of r-submodules on the r-Noetherian module will stop at a finite step. Furthermore, the relationship of r-Noetherian module with Noetherian module and almost Noetherian module is a mutual subset, Noetherian Module ⊆ Almost Noetherian Module ⊆ r-Noetherian Module.

مستخلص البحث

الوحدات النمطية هي بنى جبرية مكوَّنة من مجموعات أبليان وحلقات كمعدلات قياسية. الوحدة النمطية على حلقة ما هي مجموعة أبيلية مزودة بعملية ضرب في كمية قياسية من الحلقة تستوفي شروطًا معينة. تكون الوحدة وحدة نمطية نوثيرية إذا كانت تستوفي شرط السلسلة التصاعدية على وحداتها الفرعية. تُسمَّى وحدة R-وحدة M وحدة نوثيرية تقريبًا إذا كانت كل وحدة فرعية حقيقية في M مولَّدة بشكل نهائي. هناك فئة جديدة من الوحدات نوثيرية. لنفترض أن R حلقة و M وحدة نمطية R ، ويُقال إن M وحدة نمطية R نوثرية إذا كانت كل وحدة فرعية في M متولدة بشكل منتهٍ. الخاصية التي ستتم دراستها هي خاصية السلسلة التصاعدية للوحدات نوثرية. علاوة على ذلك، ستتم دراسة العلاقة بين وحدات الحلقة النويثريةمع الوحدات النوثرية والوحدات شبه النوثرية.

المنهج المستخدم في هذا البحث هو المنهج النوعي. يستخدم هذا البحث منهج الدراسة الأدبية. المراحل التي تم تنفيذها في هذه الدراسة هي البدء بإكمال برهان النظرية المتعلقة بالسلسلة الصاعدة على الوحدة النوثرية ص-نوثريان علاوة على ذلك، إكمال برهان الفرضية المتعلقة بعلاقة الوحدة النوثرية ص-نوثريان بالوحدة النوثرية والوحدة شبه النوثرية. ستتألف عملية الإثبات من مرحلتين، أولًا إذا كانت M وحدة نوثيرية، فإن M وحدة نوثيرية تقريبًا. ثانيًا، إذا كانت M وحدة نوثرية تقريبًا، فإن M وحدة نوثرية تقريبًا، فإن M وحدة نوثرية ص. استنادًا إلى نتائج البحث الذي تم إجراؤه، تم التوصل إلى أن طبيعة السلسلة الصاعدة على الوحدة نويثيرية هي أن كل خط سلسلة صاعد من الوحدات الفرعية r-نويثيرية على الوحدة نويثيرية سيتوقف عند خطوة منتهية. علاوةً على ذلك، فإن اتصال الوحدة الحلقة النويثريةبالوحدة النوثرية والوحدة شبه النوثرية هو وحدة فرعية متبادلة.