Pembuktian teorema polinomial khromatik dalam sudoku

Sudoku dapat dipandang sebagai pewarnaan parsial dari graf. Banyak cara menyelesaikan sudoku sama dengan banyak cara mewarnai titik-titik graf yang belum diwarnai, yang dinyatakan dengan polinomial khromatik. Hal ini menjadi ide teorema I dan II yang ditulis Agnez M. Herzberg dan M. Ram Murty, yang dalam skripsi ini disebut teorema polinomial khromatik dalam sudoku. Teorema adalah pernyataan yang dapat ditunjukkan kebenarannya. Dalam al-Quran surat an-Naml ayat 64 disebutkan, “… Katakanlah: ‘Unjukkanlah bukti kebenaranmu, jika kamu memang orang-orang yang benar’ ”. Ayat tersebut bermakna bahwa setiap yang benar pasti dapat ditunjukkan bukti kebenarannya, termasuk teorema. Oleh karena itu, skripsi ini bermaksud menjabarkan pembuktian teorema polinomial khromatik dalam sudoku.

Misal G merupakan graf sederhana, dan pG (k ) adalah banyak cara mewarnai titik G dengan k warna sedemikian hingga tidak ada dua titik adjasen mendapat warna sama. Fungsi pG (k ) disebut polinomial khromatik G. Polinomial khromatik adalah polinomial monik, yaitu polinomial dengan koefisien utama 1. Sudoku adalah teka-teki angka yang tengah menjadi trend. Tujuan dari teka-teki ini adalah mengisikan angka 1 sampai 9 ke dalam 9×9 persegi yang tediri dari sembilan kotak berisi 3×3 persegi, tanpa ada angka yang terulang pada setiap baris, kolom, dan kotak.

Langkah-langkah untuk membuktikan teorema I yaitu: menunjukkan bahwa himpunan S yang dilengkapi dengan relasi subgraf ” ≤ ” adalah poset, menunjukkan berlakunya inversi mobius pada penjabaran hipotesis teorema I

sehingga diperoleh
...

menunjukkan ...

kebenaran konklusi teorema I, menunjukkan kebenaran teorema I untuk jumlah sisi graf adalah nol, mengasumsikan benar untuk semua graf dengan jumlah sisi kurang dari jumlah sisi graf (G, C), dan menunjukkan kebenaran teorema I untuk graf (G, C). Sedangkan teorema II dibuktikan dengan menunjukkan kebenaran hipotesis teorema II sehingga kebenaran konklusinya dapat ditunjukkan.

Berdasarkan pembahasan dalam skripsi ini, teorema I dapat dibuktikan dengan dua cara. Cara pertama dengan pembuktian langsung yang menggunakan teori poset dan fungsi mobius pada poset. Cara kedua dengan pembuktian induksi kuat pada jumlah sisi graf. Adapun teorema II dapat dibuktikan dengan pembuktian langsung.