Persamaan Klein-Gordon dalam ruang-waktu melengkung

ABSTRAK

Persamaan Klein-Gordon merupakan persamaan diferensial parsial yang menggambarkan partikel bermassa dan tak berputar dengan spin-0 dalam konteks mekanika kuantum relativitas. Dalam penelitian ini, dengan menerapkan metode pemisahan variabel waktu,variabel radial, dan variabel sudut, diperoleh solusi persamaan Klein-Gordon dalam ruang-waktu melengkung menggunakan metrik Schwarzschild. Persamaan Klein-Gordon dimodifikasi dengan mengganti operator d’Alembert dalam ruang-waktu datar menjadi operator d’Alembert dalam ruang-waktu melengkung dengan menggunakan turunan kovarian dan kontravarian dari metrik Schwarzschild. Solusi fungsi waktu secara analitik diperoleh dalam bentuk eksponensial, dan solusi fungsi sudut dalam bentuk polinomial Legendre yang bergantung pada bilangan kuantum azimut dan magnetik. Fungsi radial dalam persamaan diferensial orde dua dapat diselesaikan dengan metode numerik menggunakan Matlab R2008b. Solusi persamaan Klein-Gordon dalam ruang-waktu melengkung Schwarzschild ini menggambarkan efek gravitasi terhadap partikel di sekitar lubang hitam yang memiliki interaksi gravitasi yang sangat kuat, yang diwakili oleh metrik simetris bola. Saat r mendekati nol (dalam jari-jari Schwarzschild), medan gravitasi meningkat secara signifikan. Gravitasi di sekitar black hole sangat kuat, dan gaya gravitasi yang bekerja pada partikel sangat besar. Ini berarti partikel akan mengalami percepatan gravitasi yang tinggi. Untuk penelitian selanjutnya, diharapkan dapat memperluas persamaan dalam ruang-waktu Schwarzschild ke ruang-waktu melengkung lain yang telah termodifikasi. Teori ini memberikan pengetahuan baru dalam memandang efek gravitasi dalam teori medan kuantum.

ABSTRACT

The Klein-Gordon equation is a partial differential equation that describes massless, spinless particles with spin-0 in the context of relativity quantum mechanics. In this research, by applying the method of separating time variables, radial variables and angular variables, a solution to the Klein-Gordon equation in curved space-time using the Schwarzschild metric is obtained. The Klein-Gordon equation is modified by changing the d'Alembert operator in flat space-time to the d'Alembert operator in curved space-time using the covariant and contravariant derivatives of the Schwarzschild metric. The time function solution is analytically obtained in exponential form, and the angular function solution is in the form of Legendre polynomials which depend on the azimuthal and magnetic quantum numbers. Radial functions in second order differential equations can be solved by numerical methods using Matlab R2008b. This solution of the Klein-Gordon equation in curved Schwarzschild space-time describes the effect of gravity on particles around a black hole that have very strong gravitational interactions, represented by a spherically symmetric metric. As r approaches zero (within the Schwarzschild radius), the gravitational field increases significantly. The gravity around a black hole is very strong, and the gravitational force acting on the particles is very large. This means the particles will experience high gravitational acceleration. For further research, it is hoped that we can expand the equations in Schwarzschild space-time to other modified curved space-time. This theory provides new knowledge in viewing gravitational effects in quantum field theory.

مستخلص البحث

معادلة كلاين-جوردون هي معادلة تفاضلية جزئية تصف الجسيمات عديمة الكتلة عديمة الدوران ذات الدوران 0 في سياق ميكانيكا الكم النسبية. في هذا البحث، ومن خلال تطبيق طريقة فصل المتغيرات الزمنية والمتغيرات الشعاعية والمتغيرات الزاوية، تم الحصول على حل لمعادلة كلاين-جوردون في الزمكان المنحني باستخدام مقياس شوارزشيلد. تم تعديل معادلة كلاين-جوردون عن طريق تغيير عامل دالمبرت في الزمكان المسطح إلى عامل دالمبرت في الزمكان المنحني باستخدام مشتقات متغايرة ومتعارضة من مترية شوارزشيلد. تم الحصول على حل دالة الزمن تحليلياً في شكل أسي، وحل دالة الزاوية في شكل متعددات حدود ليجيندر التي تعتمد على أرقام الكم السمتية والمغناطيسية. يمكن حل الدوال الشعاعية في المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية بالطرق العددية باستخدام Matlab R2008b. يصف هذا الحل لمعادلة كلاين-جوردون في الزمكان المنحني لشوارزشيلد تأثير الجاذبية على الجسيمات الموجودة حول الثقب الأسود والتي لها تفاعلات جاذبية قوية جدًا، ممثلة بقياس متري متماثل كرويًا. عندما يقترب r من الصفر (داخل نصف قطر شفارتزشيلد)، يزداد مجال الجاذبية بشكل ملحوظ. الجاذبية حول الثقب الأسود قوية جدًا، وقوة الجاذبية المؤثرة على الجسيمات كبيرة جدًا. وهذا يعني أن الجسيمات سوف تواجه تسارع جاذبية عاليًا. لمزيد من البحث، من المؤمل أن نتمكن من توسيع المعادلات في زمكان شوارزشيلد لتشمل زمكانًا منحنيًا معدلاً آخر. توفر هذه النظرية معرفة جديدة في عرض تأثيرات الجاذبية في نظرية المجال الكمي.