Solusi analitik persamaan Klein Gordon

ABSTRAK

Persamaan Klein Gordon merupakan persamaan diferensial parsial linier orde dua tipe hiperbolik. Persamaan ini merupakan salah satu persamaan gelombang relasi dispersif karena kecepatan gelombang bergantung terhadap frekuensi sirkular. Penelitian ini membahas penyelesaian analitik pada persamaan Klein Gordon menggunakan dua metode dengan nilai awal u(x,t)=sin⁡〖(x)+1〗 dan syarat batas homogen. Metode d’alembert merupakan metode yang berbentuk solusi khusus dengan membuat variabel bebas baru, kemudian variabel bebas tersebut diturunkan dan mensubstitusikan nilai awal sehingga diperoleh persamaan khusus dari persamaan Klein Gordon. Metode pemisahan variabel merupakan metode yang memisahkan variabel x dan t dengan memisalkan u(x,t)=F(x) dan G(t), mensubstitusikan syarat batas, kecepatan awal dan memperoleh solusi yang dapat dikatakan sebagai nilai eigen. Selanjutnya dengan menggunakan deret Fourier untuk menentukan d_n yang terdapat pada nilai eigen. Solusi analitik persamaan Klein Gordon menghasilkan bentuk penyelesaian d’alembert lebih sederhana sedangkan pemisahan variabel lebih kompleks dan kedua simulasi gelombang merambat ke arah kanan.

ABSTRACT

The Klein Gordon equation is a second-order linear partial differential equation of hyperbolic type. This equation is one of the relation dispersive wave equations because the wave speed depends on the circular frequency. This research discusses analytical solution of the Klein Gordon equation using two methods with initial values u(x,t)=sin⁡〖(x)+1〗 and homogeneous boundary conditions. The d’alembert method is a method that takes the form of a special solution by creating a new independent variable, then lowering the independent variable and substituting the initial value to obtain a special equation from the Klein Gordon equation. The variable separation method is a method that separates the variables x and t by assuming u(x,t)=F(x) dan G(t), substituting boundary conditions, initial velocity and obtaining a solution which can be said to be eigenvalues. Next, use the Fourier series to determine d_n contained in the eigenvalues. The analytical solution of the Klein Gordon equation produces a simpler d’alembert solution form, while the separation of variables is more complicated and the simulation of both wave simulations propagate to the right.

مستخلص البحث

معادلة كلاين جوردون هي معادلة تفاضلية جزئية خطية من الدرجة الثانية من النوع الزائدي. هذه المعادلة هي ﺇحدى المعادلات الموجي علاقةالتشتت لأن سرعة الموجة تعتمد على التردد الدائري. تصف معادلة كلاين جوردون بالموجات التي ذات الأطوال الموجية التي تنتقل بسرعات مختلفة وفقا لمنحنيات التشتت ولها شروط الحدود المتجانسة. يناقش هذا البحث الحلول التحليلية لمعادلة كلاين جوردون باستخدام طريقتين مع القيم الأولية u(x,t)=sin⁡〖(x)+1〗 والشروط الحدودية المتجانسة. طريقة دالمبرت هي طريقة تأخذ شكل الحل الخاص عن طريق إنشاء متغير مستقل جديد، ثم تخفيض المتغير المستقل واستبدال القيمة الأولية للحصول على معادلة خاصة من معادلة كلاين جوردون. طريقة فصل المتغير هي طريقة تفصل بين المتغيرات x و t بافتراض u(x,t)=F(x) و G(t)، واستبدال الشروط الحدودية، والسرعة الأولية والحصول على الحل والتي يمكن القول بأنها قيمة ذاتية. بعد ذلك، استخدم سلسلة فورييه لتحديد d_n الموجودة في القيم الذاتية. ينتج الحلول التحليلي لمعادلة كلاين جوردون عن حل دالمبيرت أبسط، وبينما يكون فصل المتغيرات أكثر تعقيدًا و تنتشر كلا المحاكاة الموجية إلى اليمين.