Elemen Engel kiri dari grup dihedral

INDONESIA:

Diberikan G adalah suatu grup. Suatu elemen a di G disebut elemen Engel kiri dari G jika untuk setiap g di G terdapat bilangan bulat tak negatif m sehingga komutator m-bernorma dari g dan a membentuk elemen identitas. Jika terdapat bilangan bulat positif m sehingga komutator m-bernorma dari g dan a merupakan elemen identitas untuk setiap g di G, maka a disebut elemen m-Engel kiri. Misalkan n adalah bilangan bulat positif dan n lebih besar sama dengan 3, grup dihedral-2n merupakan himpunan yang terdiri dari perpangkatan r dan hasil kali s dengan perpangkatan r. Grup dihedral merupakan grup non-abelian. Tujuan dari penelitian ini yaitu untuk menentukan bentuk umum elemen Engel kiri dari grup dihedral-2n. Langkah-langkah untuk menentukan elemen Engel kiri dari grup dihedral-2n secara umum adalah: pertama, menentukan elemen-elemen Engel kiri dari grup dihedral-2n dengan n = 3, 4, …, 20, 24, …, 40. Selanjutnya, membuat dugaan bentuk elemen-elemen m-Engel kiri dari grup dihedral-2n. Kemudian, membuktikan dugaan bentuk elemen-elemen Engel kiri dari grup dihedral-2n. Untuk n ganjil diperoleh elemen-elemen Engel kiri dari grup dihedral-2n adalah semua perpangkatan dari r. Untuk n genap yang bukan perpangkatan 2 diperoleh elemen-elemen Engel kiri dari grup dihedral-2n adalah semua perpangkatan dari r. Untuk n perpangkatan 2 diperoleh elemen-elemen Engel kiri dari grup dihedral-2n adalah semua unsur dari grup dihedral-2n.

ENGLISH:

Let G be a group. An element a in G is called a left Engel element of G whenever for every element g in G there exists a non-negative integer m such that the m-normed commutator of g and a form identity element. If there exists a positive integer m such that the m-normed commutator of g and a is an identity element for each g in G, then a is called the left m-Engel element of G. Let n be a positive integer, and n is greater than 3, then the 2n-dihedral group is a set consisting of powers of r and the product of s with powers of r. Dihedral group is a non abelian group. The aim of this research is to determine the general form of the left Engel elements of 2n-dihedral group. The steps to determine the left Engel elements of 2n-dihedral group are: first, determine the left Engel elements of 2n-dihedral group with n=3,4,…,20,24,…,40. Next, make predictions about the form of the left m-Engel elements of 2n-dihedral group. Then, prove the conjecture of the form of the left Engel elements of 2n-dihedral group. For odd n, it is found that the left Engel elements of 2n-dihedral group are all powers of r. For n even which is not raised to the power of 2, it is found that the left Engel elements of 2n-dihedral group are all powers of r. For n powers of 2, it is found that the left Engel elements of 2n-dihedral group are all elements of 2n-dihedral group.

ARABIC:

المثال G هى مجموعة. ويسمى عنصر a في G بعنصر الملاك الأيسر من G إذا كان لكل g في G عدد صحيح غير سالب m بحيث يكون المحول m-المعياري من g و a فيشكلان عنصر الهوية. وإذا كان هناك عدد صحيح موجب m بحيث يكون المحول m- المعياري من g و a وهو من عنصر الهوية لكل g في G، فعندئذٍ تسمى a بعنصر m- الملاك الأيسر. على سبيل المثال، n هي عدد صحيح موجب وأكبر يساوي ٣، فإن المجموعة ثنائية السطوح-2n هي مجموعة تتكون من قوى r ومنتجات s بقوى r. والمجموعة ثنائية السطوح هي مجموعة غير بليانية. والهدف من هذا البحث لتعيين الشكل العام لعنصر الملاك الأيسر من المجموعة ثنائية السطوح -2n. وأما الخطوات لتعيين عنصر الملاك الأيسر من المجموعة ثنائية السطوح-2n بشكل عام فهي: أولاً، تعيين عنصر الملاك الأيسر من المجموعة ثنائية السطوح -2n ب n = 3، 4، ...، 20، 24، ...، 40. وبعد ذلك، قم بجعل تنبؤ عن شكل عناصر m- الملاك الأيسر من المجموعة ثنائية السطوح -2n ثم إثبات تنبؤ شكل عناصر الملاك الأيسر من المجموعة ثنائية السطوح -2n . فتنال ل n الوتري عناصر الملاك الأيسر من المجموعة ثنائية السطوح -2n هي من كل قوى r. وأما ل n الشفعي التي ليست من قوى ٢ تنال عناصر الملاك الأيسر من المجموعة ثنائية السطوح -2n فهي كل قوى r . وأما ل n للقوي ٢ تنال عناصر الملاك الأيسر من المجموعة ثنائية السطوح -2n فهي كل العنصر من المجموعة ثنائية السطوح.