Ruang ℓ^p pada norm-2 lengkap

INDONESIA:

Ruang l^p dengan 1≤p<∞ adalah himpunan barisan bilangan Riil yang memenuhi ∑_(n=1)^∞▒〖|x_n |^p<∞〗. Fungsi pada ruang vektor X yang bernilai Riil yang memenuhi sifat-sifat norm-2 dinotasikan dengan ‖⋅,⋅‖ dan pasangan (X,‖⋅,⋅‖) disebut ruang norm-2. Ruang norm-2 dikatakan lengkap atau disebut ruang Banach-2 jika setiap barisan Cauchy dalam ruang tersebut konvergen ke suatu elemen yang ada dalam ruang tersebut. Penelitian ini dilakukan untuk membuktikan ruang l^p pada norm-2 lengkap. Langkah pertama untuk membuktikan kelengkapan tersebut adalah dengan membuktikan norm yang terdapat pada l^p dengan 1≤p<∞ memenuhi sifat-sifat norm-2. Selanjutnya membuktikan norm yang diturunkan dari norm-2 ekuivalen dengan norm pada l^p. Selanjutnya menunjukkan bahwa setiap barisan Cauchy dalam ruang l^p konvergen ke suatu elemen yang ada dalam ruang l^p. Berdasarkan pembuktian tersebut diperoleh bahwa (l^p,‖⋅,⋅‖) merupakan ruang norm-2 yang lengkap.

ENGLISH:

The l^p space with 1≤p<∞ is the set of Real numbers that satisfy ∑_(n=1)^∞▒〖|x_n |^p<∞〗. The function in the vector space X which has Real value which fulfills the 2-norm properties is denoted by ‖⋅,⋅‖ and the pair (X,‖⋅,⋅‖) is called the 2-normed space. A 2-normed space is said to be complete or called a 2-Banach space if every Cauchy sequence in the space converges to an element in that space. This research was conducted to prove the l^p space on 2-norm is complete. The first step to prove the completeness is to prove that the norm contained in l^p with 1≤p<∞ satisfies the properties of 2-norm. Next, prove that the norm derived from 2-norm is equivalent to the norm in l^p. Next shows that every Cauchy sequence in l^pspace converges to an element in l^p space. Based on this proof, it is found that (l^p,‖⋅,⋅‖) is a complete 2-norm space.

ARABIC:

الفضاء l^p مع 1≤p<∞ هو مجموعة سلسلات العدد الحقيقي التي ترضي ∑_(n=1)^∞▒〖|x_n |^p<∞〗. الوظيفة في فضاء متجه X الذي يتمتع بقيمة حقيقية يفي بخصائص المحمر-٢ يشير إليه ‖⋅,⋅‖. ويطلق على زوج (X,‖⋅,⋅‖) اسم الفضاء المحمر-٢. ويقال إن الفضاء المحمر-٢ كامل أو يسمى الفضاء باناتش-٢ إذا تقارب كل تسلسل كوشي في الفضاء إلى عنصر في ذلك الفضاء. و قد اجريت هذه البحوث لإثبات الفضاء l^p في المحمر-٢ كامل. الخطوة الأولى لإثبات الاكتمال هي إثبات أن المحمر الوارد في l^p مع 1≤p<∞ يفي بخصائص المحمر-٢. بعد ذلك، إثبات أن المحمر المستمدة من المحمر-٢ تعادل مع المحمر في l^p. التالي يبين أن كل تسلسل كوشي في الفضاء l^p تقارب إلى عنصر في الفضاء l^p. واستناداً إلى هذا الدليل، وجد أن (l^p,‖⋅,⋅‖) هو فضاء المحمر-٢ كامل.