Indeks Zagreb pertama dan kedua pada graf pembagi nol total dari ring bilangan bulat modulo 4p

مستخلص البحث

المثال : R طوق العدد الصحيح Modulo 4p و Z(R) هي مجموعة تقسيم الصفر. الموضع ZT (R) هو الموضع بنواحيها فهي مجموعة تقسيم الصفر و ليس صفرا من R لناحيتيها المختلفتين. و x,y كانت موصولة مباشرة إذا كان xy يساوي 0 و x زائد y∈Ζ(R) . أمّا الهدف من هذا البحث تعيين الصيغة Zagreb Indices الأوّل و الثّاني في موضع تقسيم الصفر الكامل من طوق العدد الصحيح Modulo 4p لأجل p الأولي. و طريقة البحث المستخدمة لهذا البحث هي الدراسة الكتابية باستخدام عدد من الكتب و الصحيفات كالمراجع.
والنتيجة من هذا البحث هي كما ستأتي :

موضع تقسيم الصفر الكامل عن طوق العدد الصحيح.1 Modulo 4p هي الأعداد الأولية هو:

.aهوbرؤوسbالرسمbالبيانيالإجمال 〖Ζ(Z_4p )〗^*={np,2k|n=1,3,k=1,2.3,…,2p-1}.

.bم{2p,u}∈E(ZT(Z_4p )) إذاbكان u=2k,k=1,2,…,p-1,p+1,…,2p-1 ثم2p∈V(ZT(Z_4p )) هو2p-2

.cا{2k,u}∈ E(ZT(Z_4p )),k=1,2,…,p-1,p+1,…,2p-1إذا كان u=2 ثم ∈V(ZT(Z_4p )) هو1

.d 3p و p نقطتان منفصلتان.

.2 الأوّل و الثّاني في موضع تقسيم الصفر الكامل على الموضع المقسم للصفر الكامل
من أطواق Z_4p هو
M_1 (ΖΤ(Z_4p ))=(2p-2)(2p-1)
M_2 (ΖΤ(Z_4p ))=〖(2p-2)〗^2.

ABSTRACT

Let R be a commutative ring with unity and Ζ(R) be its set of zero-divisor. The total zero divisor graph of R is a graph with the vertices is the nonzero zero-divisors of R and two distinct vertices x,y are adjacent if and only if xy=0 and x+y∈ Ζ(R). The purpose of this research is to determine the formula of first and second Zagreb indices of total zero-divisor graph of the ring of integers modulo 4p for p prime. The research method used is a literature study.The results of this research are the following:

1. The total zero-divisor graph of the ring of integers modulo 4p where p are primes p≥3 is:

a.The vertices V(ZT(Z_4p ))={np,2k|n=1,3,k=1,2,3,…,2p-1}.

b.{2p,u}∈E(ZT(Z_4p ))if only if u=2k,k=1,2,…,p-1,p+1,…,2p-1. Then the vertex 2p of ΖΤ(Z_4p ) is 2p-2.

c.{2k,u}∈E(ZT(Z_4p )) for every k=1,2,…,p-1,p+1,…,2p-1 if only if u=2p. Then the vertex 2k of ΖΤ(Z_4p ) is 1.

d.p and 3p are isolated vertices.

2. The first and second Zagreb indices of total zero-divisor graph of ring Z_4p where p are primes and p≥3:
M_1 (ΖΤ(Z_4p ))=(2p-2)(2p-1)
M_2 (ΖΤ(Z_4p ))=〖(2p-2)〗^2.

ABSTRAK

Misalkan R adalah ring komutatif dengan unsur kesatuan dan Ζ(R) adalah himpunan pembagi nol dari R. Graf pembagi nol total dari R yang dilambangkan dengan ZT(R) adalah graf dengan titik-titiknya pembagi nol tak nol dari R dan untuk dua titik yang berbeda x,y terhubung langsung jika dan hanya jika xy=0 dan x+y∈Ζ(R). Penelitian ini bertujuan untuk menentukan rumus indeks Zagreb pertama dan indeks Zagreb kedua pada graf pembagi nol total dari ring bilangan bulat modulo 4p untuk p bilangan prima. Metode penelitian yang digunakan adalah studi kepustakaan dengan menggunakan beberapa buku dan jurnal sebagai bahan rujukan. Hasil penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Graf pembagi nol total dari ring bilangan bulat modulo 4p dengan p bilangan prima p≥3 adalah suatu graf dengan:

a.Himpunan titik V(ZT(Z_4p ))={np,2k|n=1,3,k=1,2,3,…,2p-1}.

b.{2p,u}∈E(ZT(Z_4p )) jika dan hanya jika u=2k,k=1,2,…,p-1,p+1,…,2p-1. Sehingga derajat titik 2p pada ΖΤ(Z_4p ) adalah 2p-2.

c.{2k,u}∈E(ZT(Z_4p )) untuk setiap k=1,2,…,p-1,p+1,…,2p-1 jika dan hanya jika u=2p. Sehingga derajat titik 2k pada ΖΤ(Z_4p ) adalah 1.

d.p dan 3p adalah titik terisolasi.

2. Indeks Zagreb pertama dan kedua pada graf pembagi nol total dari ring Z_4p dengan p bilangan prima dan p≥3 adalah:
M_1 (ΖΤ(Z_4p ))=(2p-2)(2p-1)
M_2 (ΖΤ(Z_4p ))=〖(2p-2)〗^2.