Ekuivalensi Integral Lebesgue dan Integral Denjoy-Perron

مستخلص البحث

يمكن استخدام Lebesgue Integral لحساب التكاملات لفئة أوسع من الوظائف. المثال، Dirichlet function, f(x)={█(1,&x∈Q@0,&x∉R∕Q )┤. Perron Integral هو تطوير إلى تكامل Lebesgue Integral لذلك باستخدام تعريف Perron Integral وظيفة غير متكاملة Lebesgue Integral يمكن أن Integral Perron بصرف النظر عنIntegral Perron، يعد Denjoy integral أيضًا تطورًا لا يتجزأ من Lebesgue Integral ، كل ما في الأمر أن تعريف دينجوي يختلف عن تعريف Perron. ومع ذلك، فإن Denjoy Integral و Perron Integral متكافئان. يقال إن الوظيفة هي Lebesgue متكاملة إذا (L) ∫_a^b▒f⇔(D) ∫_a^b▒f كلاهما لهما معادل، وهما وفقط إذا تم دمج Denjoy ولها نفس الخصائص المتكاملة ضمن حدود الدراسة التي تمت دراستها، ضمن حدود الدراسة قيد الدراسة تشمل التقسيم ، العلوي ، السفلي ، الأعلى ، واللانهائي في دالة محدودة مستمرة f في [a,b]. الطبيعة وهي
|S(P;f)-L|<ε
U(P;f)-L(P;f)<ε
∫_a^c▒f+∫_c^b▒f=∫_a^b▒f
∫_a^b▒αf=α∫_a^b▒f

ABSTRACT

Lebesgue integrals can be used to compute integrals for a wider class of functions. For example, the Dirichlet function, f(x)={█(1,&x∈Q@0,&x∉R∕Q )┤. Perron integral is the development of the Lebesgue integral, so that by using the definition of the Perron integral a function that is not Lebesgue integral can be integrated with the Perron. Apart from the Perron integral, Denjoy's integral is also a development of the Lebesgue integral, it's just that Denjoy's definition is different from Perron's. However, Denjoy's integral and Perron's integral are equivalent. Both have the equivalent symbolized (L)∫_a^b▒f⇔(D)∫_a^b▒f. A function is said to be Lebesgue integrated if and only if Denjoy is integrated and has the same integral properties. Within the boundaries of the study under study include partition, upper, lower, supremum, and infimum in a continuous finite function f in [a,b]. The nature, namely:
|S(P;f)-L|<ε
U(P;f)-L(P;f)<ε
∫_a^c▒f+∫_c^b▒f=∫_a^b▒f
∫_a^b▒αf=α∫_a^b▒f.

ABSTRAK

Integral Lebesgue dapat digunakan untuk menghitung integral untuk kelas fungsi yang lebih luas. Misalnya fungsi Dirichlet, f(x)={█(1,&x∈Q@0,&x∉R∕Q )┤. Integral Perron adalah pengembangan dari integral Lebesgue, sehingga dengan menggunakan definisi integral Perron suatu fungsi yang tak terintegralkan Lebesgue dapat terintegralkan Perron. Selain integral Perron, integral Denjoy juga merupakan pengembangan dari integral Lebesgue, hanya saja pendefinisian yang dilakukan oleh Denjoy berbeda dengan Perron. Akan tetapi integral Denjoy dan integral Perron ekuivalen. Keduanya memiliki ekuivalensi yaitu (L) ∫_a^b▒f⇔(D) ∫_a^b▒f. Suatu fungsi dikatakan terintegralkan Lebesgue jika dan hanya jika terintegralkan Denjoy dan memiliki sifat-sifat integral yang sama. Batasan kajian yang diteliti meliputi partisi, upper, lower, supremum, dan infimum di fungsi f kontinu terbatas di [a,b]. Adapun sifatnya adalah:
|S(P;f)-L|<ε
U(P;f)-L(P;f)<ε
∫_a^c▒f+∫_c^b▒f=∫_a^b▒f
∫_a^b▒αf=α∫_a^b▒f.