Analisis kestabilan global model SEIQR dengan periode laten

ABSTRAK

Model SEIQR merupakan model epidemik pada penyebaran penyakit menular dengan periode laten yang berbentuk sistem persamaan diferensial nonlinear. Adanya waktu tunda sangat mempengaruhi kestabilan titik kesetimbangan sistem model SEIQR.

Berdasarkan permasalahan di atas maka penelitian ini bertujuan untuk mengalisis secara global kestabilan model SEIQR dengan periode laten. Namun sebelum itu, dilakukan konstruksi model sehingga menjadi model SEI. Terdapat batas ambang atau sering disebut dengan bilangan reproduksi dasar 〖(R〗_0) yang menentukan penyakit tersebut menghilang atau menetap. Jika R_0<1 maka titik kesetimbangan bebas penyakit akan mencapai stabil asimtotik dan penyakit akan menghilang. Akan tetapi, jika R_0>1 maka terjadi kesetimbangan endemik dan penyakit akan menetap.

Dengan asumsi yang telah diberikan diatas, maka dengan waktu tunda τ=0 dan tidak ada individu yang terinfeksi, maka diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit E_0=(A/μ_1 ,0,0). Jika waktu tunda τ=0 dan terdapat individu yang terinfeksi, maka diperoleh titik kesetimbangan endemik
E^=(σ/(βe^(-μ_2 τ) ),(σ(1-e^(-μ_2 τ) ) I^)/(e^(-μ_2 τ) (μ_2+k_1+k_3 ) ),(βe^(-μ_2 τ) A-σμ_1)/σβ). Dengan R_0<1 maka titik kesetimbangan asimtotik lokal dan jika R_0>1 maka titik kesetimbangan asimtotik global. Menurut analisis dinamika matematika, dapat ditunjukkan bahwa titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik yang stabil asimtotik lokal dengan menggunakan kriteria Hurwitz dan stabil asimtotik global dengan menggunakan fungsi Lyapunov untuk setiap τ. Selanjutnya dilakukan simulasi numerik pada model SEI dengan waktu tunda untuk menggambarkan dan menverifikasi kesimpulan yang berguna untuk mengendalikan penyebaran penyakit menular.

ABSTRACT

SEIQR model is epidemic model on the spread of infectious diseases with latent period from a system of nonlinear differential equations. The existence of time delay is important to stability of equilibrium point of the SEIQR model equation system.

Based on the above issues, the study aims to globally analyze the stability of SEIQR with latent period. But before that, the model construction was carried out to become a SEI model. The threshold or often referred to as basic reproduction number (R_0 ) determining whether the disease dies out or persist. If R_0<1, then the disease-free equilibrium is asymptotically stable and the disease always dies out. However, if R_0>1, then the endemic equilibrium and the disease will be endemic.

With the assumptions time delay τ=0 and no human infected, then the disease-free equilibrium point is E_0=(A/μ_1 ,0,0). If time delay τ=0 and there are human infected, the endemic equilibrium point is E^=(σ/(βe^(-μ_2 τ) ),(σ(1-e^(-μ_2 τ) ) I^)/(e^(-μ_2 τ) (μ_2+k_1+k_3 ) ),(βe^(-μ_2 τ) A-σμ_1)/σβ). R_0<1 determine locally asymptotically stable and if R_0>1 determine the globally asymptotically stable. According to the mathematical dynamics analysis, we show that disease-free equilibrium and endemic equilibrium are locally asymptotically stable by using Hurwitz criterion and they are globally asymptotically stable by using Lyapunov functions for any τ. Then a numerical simulations is performed on the SEI model with time delay to describe and verify the conclusions that will be useful for us to control the spread of infectious diseases.

مستخلص البحث

نموذج SEIQR هو نموذج الوباء في انتشار الأمراض المعية الفترة الكامنة الذي يتكون من نظام المعادل انتقاصلى غير الخطي. كان الوقت المؤجل مأثرا جدا على استقرار نقطة التوازن عند نظام نموذج SEIQR.

استفاداإلى المشكلة السابقة, كان هدف هذا البحث تحليل استقرار نموذج SEIQR مجملا بالفترة الكامنة. بل قبل ذلك, لابد على بناء نموذج أن يصبح نموذج SEI. كان حد العتبة أو يسمى كثيرا بعدد التكاثرالأساسي (R_0) يعين وجدد اختفاء الأمراض أم غيرموجود. إذا R_0 < 1 فتكون النقطة المتوازنة المجتنبة عن الأمراض تحصل على استقرارأسمتطيلا (Asimtotik) تزول الأمراض. بل, إذا R_0 > 1 فيقع توازن الوباء واستوطنت الأمراض.

اعتمادا على الافتراض السابق, كان الوقت المؤجل τ =0 وعدم المصابين بها يحصلان على النقطة المتوازنة المجتنبة عن الأمراض E_0=(A/μ_1 ,0,0). وإذا كان الوقت المؤجل τ =0 ووجود المصابين بها فيحصلان على النقطة المتوازنة الويائية E^=(σ/(βe^(-μ_2 τ) ),(σ(1-e^(-μ_2 τ) ) I^)/(e^(-μ_2 τ) (μ_2+k_1+k_3 ) ),(βe^(-μ_2 τ) A-σμ_1)/σβ). إذا R_0 < 1 فتكون النقطة المتوازنة الإسمتطية محلية وإذا R_0 > 1 فتكون النقطة المتوازنة الإسمتطية مجملة. عند تحليل ديناميكية الرياضيات, يمكن أن يدل على أن النقطة المتوازنة المجتنبة عن الأمراض والنقطة المتوازنة الوبائية الاستقرار الأسمتطي المحلية باستخدام معيار هرويت (Hurwitz) والاستقرار الأسمتطيئ المجمل باستخدام عمل ليافونوف (Lyapunov) لكل τ. ثم يقام بالمحاكاة العددية بنموذج SEI بالوقت المؤجل لتصوير الخلاصة وتصديقها الذان يفيدان لضبط انتشار الأمراض المعدية.