Graf Komutatif dari Grup Generalisasi Quaternion

مستخلص البحث

G بالعمليات الثنائية(G,*)* هى المجموعة إذا كان G مغلق تحت*،* هى ترابطي،G لها عنصر هويةe،G تحتوي على مقلوب. (G,*) تسمى مجموعة تبادلية أو مجموعة أبيلية، إذا كان *تبادلي.إن مجموQ_4n=〈a,b|b^2=a^n,a^2n=e,bab^(-1)=a^(-1) 〉 حيث e هي عنصر الهوية و n≥2.المخطط عة التعميم الرباعية Q_4n هي مجموعة ترتيب 4n تم إنشاؤها من عنصرين 〈a ، b〉 أو يمكن كتابتها G هو ثنائي من المجموعات (V، E) حيث V غير فارغة ، و E ربما فارغة. الغرض من هذه الدراسة هو تحديد مجموعة التنقّل لمجموعات التعميم الرباعيةQ_4nمع مجموعة النقاط على الرسم البياني التي هي أعضاء في مجموعة التجمعات الرباعية والنقطتان في Q_4n ستكون متجاورة إذا وفقط إذا كانت النقطتان مبدلتان في Q_4n. تشكل نتائج هذه الدراسة الخصائص التالية:
١. deg⁡(a^2n )=deg⁡(a^n )=4n-1
٢. deg⁡(a^i )=2n-1, لـi≠{2n,n}
٣. deg⁡(a^i b)=3,لـi=1,2,3,⋯,2n-1
٤. مجموعة التنقّل لمجموعات الرباعية المعممةQ_4n ليست أويلريان
٥. رقم هيمنة مجموعة التنقّل لمجموعات الرباعية المعممة Q_4n هو γ (Q_4n) = 1

ABSTRACT

Suppose the binary operation * is defined for elements of the G set. Then (G,*) is a group if G is closed under *, * is associative, G has an identity element e, G contains inverses. (G,*) is called a commutative group i.e abelian group if the binary operation * of G is commutative. The Q_4n quaternion generalization group is a 4n order group built by two elements 〈a,b〉 or can be written as Q_4n=〈a,b|b^2=a^n,a^2n=e,bab^(-1)=a^(-1) 〉 which e is an identity element and n≥2. A graph G is a pair of sets (V,E) which V is a nonempty set, and E is a possibly empty edge. The purpose of this study is to determine the commuting graph of the generalized quaternion groups Q_4n with the set of the point on the graph which are members of the quaternion group and the two points on Q_4n will be adjacent if and only if the two points are commutative at Q_4n. The results of this study form the following characteristics:
1. deg⁡(a^2n )=deg⁡(a^n )=4n-1.
2. deg⁡(a^i )=2n-1, for i≠{2n,n}.
3. deg⁡(a^i b)=3, for i=1,2,3,⋯,2n-1.
4. The commuting group of the generalized quaternion groups Q_4n is not Eulerian.
5. The domination number of the commuting group of the generalized quaternion groups Q_4n is γ(Q_4n )=1.

ABSTRAK

G dengan operasi biner *(G,*) adalah grup jika G tertutup terhadap operasi biner *, operasibiner * bersifat asosiatif, G memiliki identitas, dan G memiliki invers. Grup (G,*) adalah grup komutatif atau abelian jika operasi biner * pada G bersifat komutatif. Grup generalisasi quaternion Q_4n adalah grup berorder 4n yang dibangun oleh dua elemen 〈a,b〉 atau dapat ditulis Q_4n=〈a,b|b^2=a^n,a^2n=e,bab^(-1)=a^(-1) 〉 dimana e adalah elemen identitas dan n≥2. Graf didefinisikan sebagai pasangan berurut (V,E). V adalah himpunan titik (vertex) yang tidak boleh kosong dan E adalah himpunan sisi (edge) yang boleh kosong. Tujuan penelitian ini adalah menentukan graf komutatif dari grup generalisasi quaternion Q_4n dengan himpunan titik pada graf merupakan anggota dari grup generalisasi quaternion Q_4ndan dua titik di Q_4n akan terhubung langsung jika dan hanya jika kedua titik tersebut komutatif di Q_4n. Hasil dari penelitian ini berupa karakteristik sebagai berikut:
1. deg⁡(a^2n )=deg⁡(a^n )=4n-1.
2. deg⁡(a^i )=2n-1, untuk i≠{2n,n}.
3. deg⁡(a^i b)=3, untuk i=1,2,3,⋯,2n-1.
4. Graf komutatif dari grup generalisasi quaternion Q_4n bukan graf Euler.
5. Bilangan dominasi pada graf komutatif dari grup generalisasi quaternion Q_4n adalah γ(Q_4n )=1.