Analisis penurunan metode Runge Kutta orde tiga dan penerapannya pada penyelesaian model Predator-prey dengan pemanenan

INDONESIA:

Penelitian ini membahas tentang penurunan metode Runge Kutta orde tiga dan penyelesaiannya pada model predator-prey dengan pemanenan. Penurunan dilakukan dengan cara menurunkan f(x,y) sebanyak dua kali kemudian mensubstitusikan hasil penurunan ke dalam deret taylor orde tiga. Setelah itu, k_2 dan k_3 diubah ke dalam bentuk deret Taylor dua variable orde dua dan disubstitusikan ke rumus Runge Kutta orde tiga. Dengan menyamakan hasil dua langkah sebelumnya, diperoleh sistem persamaan yang nantinya akan digunakan untuk menentukan nilai konstanta dari rumus metode Runge Kutta orde tiga. Hasil penurunan menunjukkan bahwa rumus metode Runge Kutta orde tiga memiliki versi yang tak hingga banyaknya. Oleh sebab itu, dalam penelitian ini diberikan dua rumus metode Runge Kutta orde tiga yang selanjutnya diterapkan pada model predator-prey dengan pemanenan untuk dicari penyelesaiannya. Hasil penyelesaian dari metode Runge Kutta orde tiga versi satu memiliki selisih dengan ode45 sebesar x_500=0,001201476934902, y_500=0,002559463803293, dan z_500=0,0113
11187950243. Sedangkan untuk hasil penyelesaian metode Runge Kutta orde tiga versi dua memiliki selisih dengan ode45 sebesar x_500=0,008871873466780, y_500=0,006792027670938 dan z_500=0,010462413222829. Selanjutnya, dari hasil iterasi dianalisis galat relatif hampirannya. Hasil analisis menunjukkan galat relatif hampiran dari ketiga versi mulai berbeda pada angka ke empat setelah koma. Berdasarkan pembahasan, disimpulkan bahwa kedua rumus metode Runge Kutta orde tiga yang diberikan dapat digunakan untuk menyelesaikan model predator-prey dengan pemanenan.

ENGLISH:

This study discusses the derivation of the third-order Runge Kutta method and its solution to the predator-prey model by harvesting. Derivation is done by deriving f(x,y) twice then substituting the results of the derivation into the third-order Taylor series. After that, k_2 and k_3 are converted into the third-order taylor series for two variables and substituted to the third order Runge Kutta formula. By equating the results of the previous two steps, an equation system is obtained which will be used to determine the constant values of the formula of the third order Runge Kutta method. The result of the derivation shows that the formula of the third order Runge Kutta method has an infinite number of versions. Therefore, in this study two formulas of the three-order Runge Kutta formula were given which is then applied to the predator-prey model with harvesting to find a solution. The results of the third order Runge Kutta method version one have a difference with ode45 of x_500=0,001201476934902, y_500=0,002559463803293, dan z_500=0,011 311187950243. As the result of the solution the third order Runge Kutta method version two have a difference with ode45 of x_500=0,008871873466780, y_500=0,006792027670938 and z_500=0,010462413222829. So even the results of the two versions when compared with ode45 the results are not much different. Furthermore, the results of the iteration are analyzed with a relative error. The results of the analysis showed that the relative error of the three versions began to differ in four decimal places. Based on the discussion, it was concluded that the two third order Runge Kutta formulas given could be used to solve the predator-prey model by harvesting.

ARABIC:

تناقش هذه الدرسة تراجع طريقة Runge Kutta من الدرجة الثالثة و حلها لنموذج الفراءس المفترسة عن طريق الحصاد. يتم استقاق عن طريق استقاق f(x,y) مرتين ثم استبدال نتا ئج استقاق في سلسلة تايلور من رتبة الثالثة. بعد ذلك ، يتم تحويل k_2 و k_3 إلى سلسلة تايلور من متغيرين من الترتيب الثالث ويتم استبدالهما بصيغة Runge Kutta الترتيب الثالث. عن طريق معادلة نتائج الخطوتين السابقتين ، و هما الحصول على نظام المعادلة الذي سيتم استخدامه لتحديد القيم الثابتة لصيغة الطريقةRunge Kutta على رتبة الثالثة. تظهر نتيجة التراجع أن صيغة الثالثة Runge Kutta تحتوي على عدد غير محدود من الإصدارات. لذلك، في هذه الدراسة، تم تطبيق صيغتين لطريقة Runge Kutta من الرتبة الثالثة على نموذج المفترس الفريسة مع الحصاد لإيجاد حل. نتيجة طريقة Runge Kutta رتبة الثالثة من الإصدار الأول لديه فرق مع ode45 من x_500=0,001201476934902،
y_500=0,002559463803293، z_500=0,011311187950243 أما بالنسبة لنتائج الحل من الطريقة من الطريقة يحتوي Runge Kutta من الترتيب الثاني على اختلاف مع ode45 بقيمة

x_500=0,008871873466780، y_500=0,006792027670938 و .z_500=0,010462413222829 وبالمثل،
فإن نتائج الإصدارين عند المقارنة مع ode45 لا تختلف النتائج كثيرًا. علاوة على ذلك، يتم تحليل نتائج التكرار مع خطأ نسبي. أظهرت نتائج التحليل أن الخطأ النسبي للإصدارات الثلاثة بدأ يختلف في الرقم الرابع بعد الفاصلة. بناءً على النقاش، تم استنتاج أنه يمكن استخدام صيغتي Runge Kutta من الرتبة الثالثة لحل نموذج الفريسة المفترسة من خلال الحصاد.