Jumlah jarak eksentrik Graf pembagi nol dari gelanggang Z_p×Z_q dengan p,q bilangan prima

INDONESIA:

Kajian graf dalam gelanggang merupakan salah satu permasalahan yang menarik untuk diteliti. Misalkan R adalah suatu gelanggang maka unsur tak nol a di R disebut pembagi nol jika terdapat b unsur tak nol dari R sehingga a∙b=0. Graf pembagi nol dari suatu gelanggang komutatif R didefinisikan sebagai graf sederhana dengan titik-titiknya adalah anggota pembagi nol dari suatu gelanggang komutatif tersebut. Kedua titik misalkan x dan y dikatakan terhubung jika dan hanya jika x∙y=0 dimana x,y≠0. Salah satu contoh gelanggang komutatif adalah gelanggang Z_p dengan p bilangan prima, disebut juga dengan daerah integral. Namun berdasarkan definisi, daerah integral tidak mempunyai unsur pembagi nol sehingga tidak terdapat graf pembagi nol dari daerah integral. Misalkan G=(V,E) merupakan graf terhubung maka jumlah jarak eksentrik dari graf G tersebut dapat didefinisikan sebagai ξ^ds (G)=∑_({u,v}⊆V(G))▒〖[e(u)+e(v)] d(u,v)〗 dengan e(u) adalah eksentrisitas titik u di graf G dan d(u,v) adalah jarak antara u dan v. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui dan membuktikan teorema jumlah jarak eksentrik graf pembagi nol dari gelanggang Z_p×Z_q dengan p,q bilangan prima.

Berdasarkan hasil pembahasan, diperoleh kesimpulan bahwa jumlah jarak eksentrik graf pembagi nol dari gelanggang Z_2×Z_2 adalah 2, dan untuk gelanggang Z_p×Z_q untuk p=2,q≥3 dan q bilangan prima adalah 〖4q〗^2-9q+5. Sedangkan untuk jumlah jarak eksentrik graf pembagi nol dari gelanggang Z_p×Z_q dengan p≥3 dan q≥3 adalah 4p^2+4q^2+4pq-16p-16q+20.

ENGLISH:

Study of graph in the ring is an interesting research problem. Let R be a ring then a nonzero element a of R is called a zero divisor if there is a nonzero element b in R such that a∙b=0. The zero divisor graph of a commutative ring R is defined as a simple graph with vertices are zero divisor elements of the commutative ring. Two vertices, x and y are said to be connected if and only if x∙y=0 where x,y≠0. One example of a commutative ring is the ring Z_p with p prime called the integral domain. But by definition, the integral domain does not have a zero divisor element. Let G=(V,E) is a connected graph, the eccentric distance sum of graph G can be defined as ξ^ds (G)=∑_({u,v}⊆V(G))▒〖[e(u)+e(v)]d(u,v)〗 with e(u) is eccentricity vertex u in graph G and d(u,v) is distance between vertex u and v. The purpose of this research is to find out and prove theorems of the eccentric distance sum of zero divisor graph of a ring Z_p×Z_q with p,q prime.

The results show that the eccentric distance sum of zero divisor graph of a ring Z_2×Z_2 is 2 and for the ring Z_p×Z_q with p=2,q≥3 and q prime integers is 〖4q〗^2-9q+5. As for the eccentric distance sum of zero divisor graph of a ring Z_p×Z_q with p≥3 dan q≥3 and q prime numbers is 4p^2+4q^2+4pq-16p-16q+20.