Penyelesaian Persamaan (a ̅•b ̅)+(b ̅•y ̅)=1 ̅, ∀a ̅,b ̅,x ̅,y ̅,∈Mn dan Sifat-Sifatnya

INDONESIA:

Salah satu topik yang menarik untuk dikaji pada Teori Bilangan adalah menyelesaikan persamaan (a ̅•b ̅)+(b ̅•y ̅)=1 ̅ dengan a ̅,b ̅,x ̅,dan y ̅ merupakan anggota ring modulo-n. Persamaan ini merupakan suatu teorema dalam menentukan FPB dari bilangan bulat a dan b yang relatif prima. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui pasangan unsur (x ̅,y ̅) dari suatu unsur (a ̅,b ̅) dengan ketentuan (a ̅,b ̅)=1 serta penjabarannya dalam determinan matriks.

Dalam penelitian ini, metode yang digunakan adalah metode penelitian pustaka (library research), dengan langkah-langkah penelitian sebagai berikut: (1)mereduksi pasangan unsur yang memenuhi (a,b)=1; (2)menentukan pasangan unsur dari unsur relatif prima pada Mn; (3)kemudian menjadikan bentuk matrik 2x2 dari hasil penyelesaian; (4)menentukan determinan dari matriks-matriks tersebut;(5)menentukan pola dari determinan matriks sebagai konjektur;(6)Membuktikan konjektur benar secara umum.

Berdasarkan hasil pembahasan, dapat diperoleh bahwa determinan matrik 2x2 dari hasil penyelesaian pasangan unsur...dari persamaan (a ̅•b ̅)+(b ̅•y ̅)=1 ̅, ∀a ̅,b ̅,x ̅,y ̅,∈Mn membentuk suatu pola yaitu:
... Dengan Pola Umum dari sifat-sifatnya yaitu:
...dan... dengan... Sehingga, pada penelitian selanjutnya penulis menyarankan untuk melanjutkan penelitian ini dari hasil penyelesaian pasangan unsur...dari persamaan (a ̅•b ̅)+(b ̅•y ̅)=1 ̅, ∀a ̅,b ̅,x ̅,y ̅,∈Mn dikembangkan dalam bidang Aljabar, Graf, dan bidang lainnya.

ENGLISH :

One of the interesting topics to studied in numbers theory is solve the equation...where and are part of positive integers (M_n) rings. This equation is one of the greatest common divisor (GCD) theorem of integer a and b which prime relative. The purpose of this research is to investigate and describe both of elements...from element... with requirements...=1 in matrix determinant.

In this research, the used is the method is library research with the research steps as follows: (1)choose both of element...with fulfil requirements...; (2)establish both of elements...from element a and b which prime relative from M_n; (3)and then formed the result...into matrix 2x2; (4)establish the determinant of matrixs; (5)determine pattern of matrix determinant as conjecture;(6)proving a conjecture is true in general. Based on the results of the discussion of this research, can be obtained that matrix determinant of both of elements from this...equation...formed a pattern that:
... And general pattern of it`s characteristic that:
... where... Thus, authors recommend to continue this research for result both of elements...from the equation...to expand in another side, is like Algebra, Graph, etc.