Aplikasi Diagonalisasi Matriks dalam penyelesaian sistem persamaan diferensial biasa orde satu

INDONESIA:
Persamaan diferensial adalah sebarang persamaan dengan nilai tak-diketahui (unknown) berupa suatu fungsi dan yang melibatkan turunan (atau diferensial) dari fungsi yang tidak diketahui ini. Berorde satu karena hanya mengandung turunan pertama, tidak ada turunan yang lebih tinggi. Sebuah sistem persamaan diferensial adalah sekumpulan dua atau lebih persamaan diferensial yang saling berkaitan. Sistem persamaan diferensial membutuhkan metode-metode atau pendekatan dalam penyelesaiannya yang sering kali sulit untuk diselesaikan secara langsung. Salah satu pendekatan efektif yang dapat digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan diferensial adalah dengan diagonalisasi matriks. Diagonalisasi matriks adalah proses mengubah suatu matriks menjadi bentuk diagonal. Tujuan penelitian ini adalah untuk membahas dan mengeksplorasi penerapan diagonalisasi matriks dalam penyelesaian sistem persamaan diferensial. Hasil dari penelitian ini adalah sistem persamaan diferensial biasa orde satu y^'=ay yang dapat dinotasikan menjadi matriks dan diselesaikan dengan diagonalisasi matriks jika matriks A memiliki n nilai eigen berbeda, memiliki n vektor eigen bebas linear, dan terdapat sebuah matriks invertibel P sehingga P^(-1) AP adalah sebuah matriks diagonal.

ENGLISH:
A differential equation is an equation involving an unknown function and its derivative(s). A first-order differential equation contains only the first derivative and no higher-order derivatives. A system of differential equations is a set of two or more interrelated differential equations. Solving such system of equations often requires specific methods or approaches, as they are not always solvable through direct computation. One effective method for solving system of differential equations is matrix diagonalization. Matrix diagonalization is the process of transforming a matrix into diagonal form. This study aims to discuss and explore the application of matrix diagonalization to solving system of first-order ordinary differential equations. The result of this research shows that a system of the form y^'=ay which can be represented in matrix form and can be solved using matrix diagonalization, provided that the matrix A has n distinct eigenvalues and n linearly independent eigenvectors. In this case, there exists an invertible matrix P such that P^(-1) AP is a diagonal matrix.

:العربية
المعادلة التفاضلية هي معادلة تتضمن دالة غير معروفة ومشتقاتها. تحتوي المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى على المشتقات الأولى فقط ولا تحتوي على مشتقات من الدرجة الأعلى. نظام المعادلات التفاضلية هو مجموعة من معادلتين تفاضليتين أو أكثر تكون مترابطة فيما بينها. غالبا ما يتطلب حل مثل هذه المعادلات طرقا أو مناهج محددة ، حيث لا يمكن حلها دائما عن طريق الحساب المباشر. أحد الأساليب الفعالة لحل أنظمة المعادلات التفاضلية هو توطين المصفوفة. قطري المصفوفة هو عملية تحويل المصفوفة إلى شكلها القطري .هدفت هذه الدراسة إلى مناقشة واستكشاف تطبيق توطين المصفوفة في حل أنظمة المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى. ظهرت نتيجة هذا البحث أن نظاما من الشكل y^'=ay يمكن تمثيله على شكل مصفوفة ويمكن حله باستخدام قطرة المصفوفة ، بشرط أن يكون للمصفوفة A قيم n منعدد ذاتية مميزة و n متجهات ذاتية مستقلة خطيا. في هذه الحالة ، توجد مصفوفة P قابلة للانعكاس مثل P^(-1) AP مصفوفة قطرية.