Sifat keengkapan pada hasil kali ruang metrik

ABSTRAK

Konsep ruang metrik berawal dari konsep jarak. Istilah metrik merupakan fungsi jarak pada sebuah himpunan tak kosong yang memenuhi kriteria-keriteria tertentu. Misalkan X adalah himpunan tak kosong, dengan x,y∈X, fungsi jarak atau metrik d akan selalu bernilai positif untuk semua x,y∈X, metrik d akan bernilai nol jika dan hanya jika x=y, metrik d memenuhi sifat simetris, dan metrik d berlaku ketaksamaan segitiga. Hasil kali ruang metrik merupakan gabungan dua atau lebih ruang metrik menjadi satu ruang metrik baru. Misalkan (X_n,d_n) adalah ruang metrik dengan n=1,2,3,… X_n merupakan himpunan dari ruang metrik dan d_n merupakan metrik pada ruang metrik tersebut. Hasil kali ruang metrik dinotasikan dengan ∏(X_n), n=1,2,3,... . Ruang metrik memiliki sifat dasar, yaitu kelengkapan, keterbatasan, keterpisahan dan kekompakan. Memahami kelengkapan dalam hasil kali ruang metrik dapat membantu mengkaji lebih lanjut dalam hasil kali ruang, teori himpunan, dan analisis fungsional. Oleh karena itu, penelitian ini akan membahas sifat kelengkapan pada hasil kali ruang metrik. Tujuan utama dari penelitian ini adalah untuk mengetahui langkah-langkah dalam membuktikan teorema kelengkapan pada hasil kali ruang metrik. Hasil penelitian telah membuktikan bahwa teorema kelengkapan pada hasil kali ruang metrik ∏(X_n), n=1,2,3,... adalah ruang metrik yang lengkap jika dan hanya jika setiap (X_n,d_n) adalah ruang yang lengkap.

ABSTRACT

The concept of a metric space originates from the concept of distance. A metric refers to a distance function on a non-empty set that satisfies certain criteria. Let X be a non-empty set, with x,y∈X the distance function or metric d will always take positive values for all x,y∈X, the metric d will be zero if and only if x=y, the metric d satisfies the symmetry property, and the metric d adheres to the triangle inequality. The Cartesian product of metric spaces is the combination of two or more metric spaces into a new metric space. Let (X_n,d_n) be a metric space with n≥1, where X_n represents the set of the metric space and d_n represents the metric on that space. The Cartesian product of metric spaces is denoted by ∏(X_n), n=1,2,3,... . A metric space has basic properties, including completeness, boundedness, separability, and compactness. Understanding completeness in the Cartesian product of metric spaces can help further study the Cartesian product, set theory, and functional analysis. This research will discuss the completeness property in the Cartesian product of metric spaces. The main goal of this research is to understand the steps in proving the completeness theorem in the Cartesian product of metric spaces. The research results have proven that the completeness theorem in the Cartesian product of metric spaces ∏(X_n), n=1,2,3,... is a complete metric spaces if and only if each (X_n,d_n) is a complete space.

مستخلص البحث

ينشأ مفهوم الفضاء المتري من مفهوم المسافة. يشير مصطلح "المترية" إلى دالة المسافة على مجموعة غير فارغة تحقق معايير معينة. لنفترض أن X مجموعة غير فارغة، ومع x,y∈X، فإن دالة المسافة أو المترية d تكون دائمًا موجبة لجميع x,y∈X ، وتكون d مساوية للصفر إذا وفقط إذا كان x=y ، وتلبي d خاصية التماثل، كما تفي بمتباينة المثلث. جداء الفضاءات المترية هو اتحاد فضاءين متريين أو أكثر ليشكل فضاءً متريًا جديدًا. لنفترض أن (X_n,d_n) فضاء متري حيث n=n = 1,2,3,…. هنا X_n هي مجموعة الفضاء المتري، و d_n هي المترية في ذلك الفضاء. يُرمز لجداء الفضاءات المترية بـ ∏_(n=1)^∞▒X_n . يتميز الفضاء المتري بخواص أساسية تشمل الاكتمال، المحدودية، الانفصال، والتراص. فهم الاكتمال في جداء الفضاءات المترية يمكن أن يساعد في دراسة الجداء، نظرية المجموعات، والتحليل الوظيفي بشكل أعمق. لذلك، يتناول هذا البحث خاصية الاكتمال في جداء الفضاءات المترية. الهدف الرئيسي من هذا البحث هو معرفة الخطوات اللازمة لإثبات مبرهنة الاكتمال في جداء الفضاءات المترية. وقد أظهرت نتائج البحث أن مبرهنة الاكتمال في جداء الفضاءات المترية ∏_(n=1)^∞▒X_n تنص على أن الفضاء المتري كامل إذا وفقط إذا كان كل ∏_(n=1)^∞▒X_n فضاءً متريًا كاملاً.