Pelabelan sisi L (3,2,1) pada Graf Sierpinski dan Graf Bintang Sierpinski

ABSTRAK

Tujuan penelitian ini adalah untuk menemukan nilai minimal label terbesar pada pelabelan sisi L(3,2,1) dari graf Sierpinski ST_3^n ,PT_4^n dan graf bintang Sierpinski 〖SS〗_n,〖PS〗_n . Misal G adalah graf, pelabelan sisi L(3,2,1) pada graf G adalah suatu fungsi f dari himpunan sisi E(G) ke himpunan bilangan bulat positif sedemikian sehingga untuk dua sisi e_1,e_2 jika d(e_1,e_2)=1 maka |f(e_1)-f(e_2)|≥3; jika d(e_1,e_2)=2 maka |f(e_1)-f(e_2)|≥2; dan jika d(e_1,e_2)=3 maka |f(e_1 )-f(e_2 )|≥1 untuk e_1,e_2∈E(G).

Adapun langkah yang digunakan adalah melabeli beberapa percobaan sampai menemukan hasil nilai terkecil. Kemudian dari beberapa pola yang ditemukan, dibuat suatu konjektur yang dirumuskan menjadi suatu teorema dan dilengkapi dengan bukti. Hasil penelitian ini yaitu, nilai minimal label terbesar graf segitiga Sierpinski (ST_3^n) dan graf persegi Sierpinski (PT_4^n) sebagai berikut:

λ_3,2,1 (ST_3^n )={■(7,n=0@17,n=1)┤ dan λ_3,2,1 (ST_3^n )≤29,n≥2
λ_3,2,1 (PT_4^n )={■(8,n=0@18,n=1)┤ dan λ_3,2,1 (PT_4^n )≤39,n≥2

Dan nilai minimal terbesar untuk graf bintang segitiga Sierpinski (〖SS〗_n) dan graf bintang persegi Sierpinski 〖(PS〗_n), yaitu:

λ_3,2,1 (〖SS〗_n )={■(7,n=1@22,n=2)┤ dan λ_3,2,1 (〖SS〗_n )≥7,n≥1
λ_3,2,1 〖(PS〗_n)={■(8,n=1@24,n=2)┤ dan λ_3,2,1 〖(PS〗_n)≥8,n≥1

ABSTRACT

The purpose of this research is to determine the largest minimum label from edge labelling L(3,2,1) on Sierpinski Graph ST_3^n,PT_4^n and Sierpinski Star Graph 〖SS〗_n,〖PS〗_n. Let G be a graph, an L(3,2,1) edge labelling of graph G is a function f from E(G) to positive integers such as for e_1,e_2 if d(e_1,e_2)=1 then |f(e_1)-f(e_2)|≥3; if d(e_1,e_2)=2 then |f(e_1)-f(e_2)|≥2; and if d(e_1,e_2)=3 then |f(e_1 )-f(e_2 )|≥1 for e_1,e_2∈E(G).

The used steps state that labelling each attempt to find the smallest value. Then from some of the found patterns, a conjecture is formulated into a theorem which is supported by sufficient proof. The results of this research are, the minimun larger on Sierpinski triangle graph (ST_3^n) and Sierpinski square graph (PT_4^n) are:

λ_3,2,1 (ST_3^n )={■(7,n=0@17,n=1)┤ and λ_3,2,1 (ST_3^n )≤29,n≥2,
λ_3,2,1 (PT_4^n )={■(8,n=0@18,n=1)┤ and λ_3,2,1 (PT_4^n )≤39,n≥2.

And the minimun larger on Sierpinski triangle star graph (〖SS〗_n) and Sierpinski square graph (〖PS〗_n) are:

λ_3,2,1 (〖SS〗_n )={■(7,n=1@22,n=2)┤ dan λ_3,2,1 (〖SS〗_n )≥7,n≥1,
λ_3,2,1 〖(PS〗_n)={■(8,n=1@24,n=2)┤ dan λ_3,2,1 〖(PS〗_n)≥8,n≥1.