Analisis Titik Tetap dan Grafik Perilaku Model Mikobakterium Tuberkulosis

ABSTRAK

Model matematika pada infeksi mikobakterium tuberkulosis yang berbentuk sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu melibatkan 16 variabel meliputi populasi bakteri (bakteri intraselular dan bakteri ekstraselular), populasi makrofag (resting, aktif, infeksi), populasi sitokin (TNF-α, IFN-γ, IL-12, IL-10, IL-4), limfosit T CD4+ (T_0,T_1,T_2) dan limfosit T CD8+ (T_80,T_8,T_c). Menganilisa titik tetap, grafik perilaku dan parameter yang berpengaruh pada model matematika ini bertujuan untuk mengecek suatu sistem persamaan valid atau tidak. Metode steepest descent merupakan salah satu analisis numerik dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang disusun secara matematis. Dalam analisis numerik dilakukan perhitungan dalam jumlah yang sangat banyak dan berulang-ulang. Perhitungan ini diselesaikan dengan bantuan Matlab. Analisis grafik perilaku ini bertujuan untuk melihat faktor yang mempengaruhi infeksi laten.

Hasil perhitungan dengan menggunakan metode steepest descent dengan bantuan Matlab tidak berhasil dalam mendapatkan titik tetap dikarenakan terlalu banyak persamaan dan Matlab tidak bisa mendapatkan solusi hingga iterasi ke-n. Dengan menggunakan tool fsolve pada Matlab didapatkan solusi sistem persamaan tidak menunjukkan solusi yang nonnegatif. Artinya fsolve juga gagal untuk mencari titik tetap. Sama halnya dengan tool fsolve, tool lsqnonlin pada Matlab didapatkan solusi sistem persamaan tidak menunjukkan solusi yang nonnegatif. Didapatkan titik tetap palsu karena nilai yang diharapkan jauh dari nilai toleransi 〖10〗^(-10). Maka, perhitungan dengan tool lsqnonlin ini dianggap gagal. Dengan membandingkan grafik simulasi dengan grafik dengan jurnal ternyata tidak sinkron maka untuk mendukung validitas model hasil analisis grafik gagal atau dapat dikatakan tidak valid.

Dapat disimpulkan bahwa solusi numerik model matematika pada penyakit tuberkulosis memiliki solusi hampiran. Adapun pembentukan infeksi laten dipengaruhi oleh laju pertumbuhan bakteri intraselular, sumber produksi berlebih pada IFN-γ dari sel Natural Killer (NK), berkurangnya bakteri Intraselular disebabkan oleh makrofag terinfeksi, dan laju ledakan pada makrofag terinfeksi kronis meningkat maka waktu infeksi laten menurun. Sedangkan jika produksi IL-4 oleh sel T_0 meningkat maka waktu infeksi latennya juga meningkat. Jika produksi IL-4 meningkat maka mempercepat infeksi laten.

ABSTRACT

The mathematical model of tuberculosis mycobacterium infection in the form of a first-order nonlinear differential equation system involves 16 variables, there are populations of bacteria (intracellular and extracellular bacteria), population of macrophages (resting, active, infection), cytokine population (TNF-α, IFN-γ, IL -12, IL-10, IL-4), CD4 + T lymphocytes (T_0,T_1,T_2) and CD8 + T lymphocytes (T_80,T_8,T_c). With a fixed point, the behavior graph and parameters that take effect this mathematical model, are aimed at checking a system of valid equations or not. This mathematical model is solved using the steepest descent numerical method, the fsolve tool in Matlab, the lsqnonlin tool in Matlab, and comparing the simulation graph with the journal graph. The steepest descent method is one of the numerical analysis in solving mathematical problems. In numerical analysis, calculations are carried out in very large numbers and repeatedly. This calculation was solved with the help of Matlab. This behavioral graph analysis aims to look at factors that take effect latent infection.

The calculation results using the steepest descent method with the help of Matlab did not succeed in obtaining a fixed point because there were too many equations and Matlab could not get the solution until the n-th iteration. Using the fsolve tool in Matlab, the system solution equation does not show a non-negative solution. This means that fsolve also fails to find a fixed point. As with the fsolve tool, the lsqnonlin tool in Matlab found that the system equation solution does not show a non-negative solution. The fixed point is false because the expected value is far from the tolerance value 〖10〗^(-10). So, calculations with the lsqnonlin tool are considered a failure. By comparing the simulation chart with the journal graph it turns out that it is out of sync so to support the validity of the model the results of graph analysis fail or can be said to be invalid.

It can be concluded that the numerical solution of the mathematical model in tuberculosis has almost a solution. The formation of latent infections is take effect by the growth rate of intracellular bacteria, the source of overproduction of IFN-γ from Natural Killer cells (NK), reduced Intracellular bacteria caused by infected macrophages, and the rate of explosion in chronic infected macrophages increases, when latent infection decreases. Whereas if the production of IL-4 by cell T_0 increases, the time for latent infection also increases. If IL-4 production increases, it speeds up latent infection.