Analisis dinamik model general, susceptible, exposed, fanatic pada penyebaran perilaku fanatisme

INDONESIA

Penelitian ini membahas analisis dinamik model General, Susceptible, Exposed, Fanatic (GSEF) pada penyebaran perilaku fanatisme. Pada penelitian ini dilakukan analisis dinamik model GSEF untuk mendapatkan gambaran yang valid mengenai dinamika penyebaran fanatisme dalam populasi. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui dinamika penyebaran perilaku fanatisme serta menganalisis pengaruh parameter laju penularan terhadap arah dinamika sistem. Tahapan penelitian diawali dengan menentukan titik kesetimbangan dan menganalisis kestabilannya menggunakan matriks Jacobi dan kriteria Routh-Hurwitz, kemudian menentukan bilangan reproduksi dasar menggunakan metode Next Generation Matrix. Selanjutnya dilakukan simulasi numerik dengan memvariasikan nilai parameter β_3 menggunakan nilai awal yang ditentukan untuk mengetahui ilustrasi dinamika penyebaran fanatisme. Hasil penelitian diperoleh lima titik kesetimbangan, yaitu tiga titik kesetimbangan bebas fanatisme P_0^*,P_1^* dan P_2^*, serta dua titik kesetimbangan endemik P_3^(+*) dan P_3^(-*). Titik kesetimbangan P_1^* bersifat stabil asimtotik ketika R₁ > 1 dan R₂ < 1, sedangkan P_2^* bersifat stabil asimtotik ketika R₂ > 1,R_d≥ 1, dan R₀ < 1. Selain itu, ditemukan fenomena bifurkasi mundur pada model yang menunjukkan bahwa menurunkan bilangan reproduksi dasar di bawah satu saja tidak cukup untuk mengeliminasi fanatisme dari populasi, karena kondisi awal populasi dan nilai parameter turut menentukan arah dinamika sistem. Hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa semakin besar nilai β₃, sistem semakin cepat konvergen menuju titik kesetimbangan endemik dengan proporsi individu fanatik yang lebih tinggi, meskipun dalam jangka panjang ketiga kurva menunjukkan pola penurunan yang sama hingga mendekati nol. Penelitian ini dapat digunakan sebagai upaya untuk menentukan strategi pengendalian penyebaran perilaku fanatisme dalam populasi.

ENGLISH

This study discusses the dynamical analysis of the General, Susceptible, Exposed, Fanatic (GSEF) model for the spread of fanatic behavior. In this study, a dynamical analysis of the GSEF model was conducted to obtain a valid representation of the dynamics of fanaticism spread within a population. The objective of this research is to investigate the dynamics of fanatic behavior transmission and to analyze the influence of transmission rate parameters on the direction of the system dynamics. The research procedure begins with determining the equilibrium points and analyzing their stability using the Jacobian matrix and the Routh Hurwitz criterion, followed by the determination of the basic reproduction number using the Next Generation Matrix method. Numerical simulations were then performed by varying the value of parameter β_3 while using predetermined initial values to illustrate the dynamics of fanaticism spread. The results reveal five equilibrium points, consisting of three fanaticism-free equilibrium points, P_0^*, P_1^*, and P_2^*, and two endemic equilibrium points, P_3^(*+) and P_3^(*+). The equilibrium point P_1^* is asymptotically stable when R_1>1 and R_2<1, whereas P_2^* is asymptotically stable when R_2>1, R_d≥1, and R_0<1. Furthermore, a backward bifurcation phenomenon was identified in the model, indicating that reducing the basic reproduction number below one alone is insufficient to eliminate fanaticism from the population, since the initial population conditions and parameter values also determine the direction of the system dynamics. The numerical simulation results show that larger values of β_3 cause the system to converge more rapidly toward the endemic equilibrium point with a higher proportion of fanatic individuals, although in the long term all three curves exhibit the same declining pattern and approach zero. This study may serve as a basis for developing strategies to control the spread of fanatic behavior within a population.

ARABIC

تتناول هذه الدراسة التحليل الديناميكي لنموذج النموذج العام، القابل، المكشوف، والمتعصب (GSEF) لانتشار السلوك المتعصب. في هذه الدراسة، تم إجراء تحليل ديناميكي لنموذج GSEF للحصول على صورة صحيحة لديناميكيات انتشار التعصب في السكان. الغرض من هذه الدراسة هو تحديد ديناميكيات انتشار السلوك المتعصب وتحليل تأثير معلمات معدل النقل على اتجاه ديناميكيات النظام. بدأت مرحلة البحث بتحديد نقطة التوازن وتحليل استقرارها باستخدام مصفوفة جاكوبي ومعايير روث-هورويتز، ثم تحديد العدد التناسلي الأساسي باستخدام طريقة مصفوفة الجيل القادم. بعد ذلك، أجريت محاكاة رقمية عن طريق تغيير قيمة معامل β₃ باستخدام القيمة الابتدائية المحددة لإيجاد توضيح لديناميكيات انتشار التعصب. حصلت نتائج الدراسة على خمس نقاط توازن، وهي ثلاث نقاط توازن خالية من التعصب ،P_0^*، P_1^*، وP_2^*، بالإضافة إلى نقطتي توازن متوطنتين هما P_3^(*+) و P_3^(*-). تكون نقطة التوازن ل P_1^* مستقرة تقاربيا عندما يكون R₁> 1 و R_2> 1 ، بينما P_2^* يكون مستقرا تقاربيا عندما يكون R₂> 1، وR_d≥ 1، وR₀< 1. بالإضافة إلى ذلك، تم العثور على ظاهرة انقسام رجعي في النموذج أظهرت أن خفض عدد التكاثر الأساسي إلى أقل من واحد لم يكن كافيا للقضاء على التعصب في السكان، حيث أن الحالة الأولية للسكان وقيمة المعلمات تحددان أيضا اتجاه ديناميكيات النظام. ظهرت نتائج المحاكاة العددية أنه كلما زادت قيمة β₃، كلما اقترب النظام بسرعة نحو نقطة توازن متوطنة مع نسبة أكبر من الأفراد المتعصبين، رغم أن المنحنيات الثلاثة ظهر نفس نمط الانحدار إلى الاقتراب من الصفر. أمكن استخدام هذا البحث كجهد لتحديد استراتيجيات للسيطرة على انتشار السلوك المتعصب في السكان