Kekonvergenan deret ganda berulang pada himpunan bilangan real

INDONESIA:

Deret ganda merupakan generalisasi dari deret biasa yang penjumlahan suku-sukunya bergantung pada dua indeks dan dinyatakan dalam bentuk \sum_{n,m=1}^{\infty}{x(n,m)}. Pada deret tunggal, penjumlahan suku-sukunya bergantung pada satu indeks, yang dinyatakan dalam bentuk \sum_{n=1}^{\infty}x_n. Adanya penjumlahan berulang tersebut tentunya menyebabkan sifat kekonvergenan deret ganda berulang dapat berbeda dengan deret tunggal. Penelitian ini bertujuan untuk membuktikan sifat kekonvergenan deret ganda berulang. Metode penelitian yang digunakan adalah kajian pustaka. Kajian ini diawali dengan memberikan definisi deret ganda berulang, kemudian membahas sifat yang berkaitan dengan kekonvergenan deret ganda. Hasil penelitian meyimpulkan bahwa misalkan deret ganda \sum_{n,m=1}^{\infty}{x(n,m)} konvergen ke s\in\mathbb{R}, maka deret ganda berulang \sum_{m=1}^{\infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty}{x(n,m)}\right) dan \sum_{n=1}^{\infty}{\left(\sum_{m=1}^{\infty}{x(n,m)}\right)\ }ada. Limit kedua deret ganda berulang tersebut sama dengan s jika dan hanya jika berlaku: (1) \forall m\in\mathbb{N}, deret \sum_{n=1}^{\infty}{x(n,m)} konvergen, (2) \forall n\in\mathbb{N}, deret \sum_{m=1}^{\infty}{x(n,m)} konvergen. Selain itu, jika deret ganda dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian dua deret yang konvergen, yaitu \sum_{n,m=1}^{\infty}{x(n,m)}=\sum_{n,m=1}^{\infty}{x(n)y(m)}, di mana \sum_{n=1}^{\infty}{x\left(n\right)=x} dan \sum_{m=1}^{\infty}{y\left(m\right)=y}, maka \sum_{n=1}^{\infty}{\left(\sum_{m=1}^{\infty}{x(n,m)}\right)=\sum_{m=1}^{\infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty}{x(n,m)}\right)=\ }xy.

ENGLISH:

A double series is a generalization of an ordinary series in which the summation of its terms depends on two indices and is expressed in the form \sum_{n,m=1}^{\infty}{x(n,m)}. In an ordinary series, the summation of its terms depends on a single index and is expressed in the form \sum_{n=1}^{\infty}{x(n)}. The existence of such repeated summation naturally means that the convergence properties of a iterated double series can differ from those of a single series. This study aims to prove the convergence properties of iterated double series. The research method employed is a literature review. The study begins by providing the definition of an iterated double series and then discusses properties related to the convergence of double series. The results show that if the double series \sum_{n,m=1}^{\infty}{x(n,m)} convergence to s\in\mathbb{R}, then the iterated double series \sum_{m=1}^{\infty}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}{x(n,m)}\right)\ }and \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{m=1}^{\infty}{x(n,m)}\right) exits. The limits of these two iterated double series are equal to s if and only if the following conditions hold: (1) for every \forall m\in\mathbb{N}, the series \sum_{n=1}^{\infty}{x(n,m)} convergence, (2) for every \forall n\in\mathbb{N}, the series \sum_{m=1}^{\infty}{x(n,m)} convergence. On the other hand, if the double series can be expressed as the product of two convergent series, namely \sum_{n,m=1}^{\infty}{x(n,m)}=, where \sum_{n=1}^{\infty}{x\left(n\right)=x} and y, then \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{m=1}^{\infty}{x(n,m)}\right)=\sum_{m=1}^{\infty}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}{x(n,m)}\right)=xy.}

ARABIC:

المتسلسلة المزدوج هي تعميم للمتسلسلة العادية، حيث يعتمد جمع حدودها على دليلين (مؤشرين) اثنين ويتم التعبير عنها في الشكل \sum_{n,m=1}^{\infty}x\left(n,m\right) أما في المتسلسلة الأحادية، فإن جمع الحدود يعتمد على دليل واحد فقط، وتُكتب في الشكل \sum_{n=1}^{\infty}x_n تطورت المتسلسلة المزدوجة لتصبح "متسلسلة مزدوجة متكررة"، وهي متسلسلة مزدوجة يتم إجراء الجمع فيها خطوة بخطوة لكل دليل على حدة. إن وجود مثل هذا الجمع المتكرر يعني بطبيعة الحال أن خصائص التقارب للمتسلسلة المزدوجة المتكررة قد تختلف عن خصائص المتسلسلة الأحادية. هدفت هذه الدراسة إلى إثبات خصائص تقارب المتسلسلات المزدوجة المتكررة. والمنهج المتبع في هذا البحث هو الدراسة المكتبية (مراجعة الأدبيات). بدأت هذه الدراسة بتقديم تعريف المتسلسلة المزدوجة المتكررة، ثم مناقشة الخصائص المتعلقة بتقارب المتسلسلة المزدوجة. وخلصت نتائج البحث إلى أنه إذا كانت المتسلسلة المزدوجة \sum_{n,m=1}^{\infty}x\left(n,m\right) متقاربة إلى s\in\mathbb{R}، فإن المتسلسلتين المزدوجتين المتكررتين \sum_{m=1}^{\infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty}x\left(n,m\right)\right) و\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{m=1}^{\infty}x\left(n,m\right)\right)\ موجودتان. وكانت نهاية هاتين المتسلسلتين المتكررتين مساوية إلىs إذا وفقط إذا تحقق ما يلي: (١) لكل \forall m\in\mathbb{N}، تكون المتسلسلة \sum_{n=1}^{\infty}x\left(n,m\right) متقاربة. (٢) لكل \forall n\in\mathbb{N},، تكون المتسلسلة \sum_{m=1}^{\infty}x\left(n,m\right) متقاربة. علاوة على ذلك، إذا أمكن التعبير عن المتسلسلة المزدوجة كحاصل ضرب متسلسلتين متقاربتين، أي \sum_{n,m=1}^{\infty}x\left(n,m\right)=\sum_{n,m=1}^{\infty}x\left(n\right)y\left(m\right)، حيث \sum_{n=1}^{\infty}{x\left(n\right)=x}،m=1∞ym=y فإن \sum_{n=1}^{\infty}{\left(\sum_{m=1}^{\infty}x\left(n,m\right)\right)=\sum_{m=1}^{\infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty}x\left(n,m\right)\right)=}xy يقتصر نطاق جميع المتتاليات المزدوجة والمتسلسلات المزدوجة التي تمت مناقشتها في هذا البحث على مجال الأعداد الحقيقية