Sifat Kelengkapan pada Ruang Grand-Kuasi Lebesgue

INDONESIA:

Ruang grand-kuasi Lebesgue merupakan perluasan dari ruang grand Lebesgue dengan perbedaan utama pada rentang p, yaitu [1,∞] pada ruang grand Lebesgue dan (0,1] pada ruang grand-kuasi Lebesgue, sedemikian sehingga ruang grand Lebesgue merupakan ruang Banach dan ruang grand-kuasi Lebesgue hanya merupakan ruang kuasi-Banach karena memenuhi ketaksamaan kuasi-segitiga. Penelitian ini bertujuan membuktikan sifat kelengkapan pada ruang grand-kuasi Lebesgue melalui pendekatan studi literature dengan merujuk pada Formica dkk. (2021) serta literature terkait. Sebelum itu ditunjukkan terlebih dulu ruang tersebut adalah ruang kuasi-norma. Hasil penelitian menunjukkan bahwa ruang grand-kuasi Lebesgue Gψ_(a,b) dengan 0<a<b≤1 merupakan ruang kuasi-norma dengan konstanta kuasi-segitiga C=2^(1/a-1) dan memenuhi kriteria kelengkapan ruang kuasi-norma di mana setiap deret ∑_(k=1)^∞▒x_k yang memenuhi ∑_(k=1)^∞▒〖C^k ‖x_k ‖ 〗_(Gψ_(a,b) )<∞ akan konvergen ke suatu fungsi di Gψ_(a,b) dan memenuhi ketaksamaan ‖∑_(k=1)^∞▒x_k ‖_(Gψ_(a,b) )≤C∑_(k=1)^∞▒〖C^k ‖x_k ‖_(Gψ_(a,b) ) 〗, sehingga merupakan ruang kuasi-Banach.

INGGRIS:

The grand-quasi Lebesgue space is an extension of the grand Lebesgue space. The main difference lies in the range of p, namely [1,∞] in the grand Lebesgue space and (0,1] in the grand-quasi Lebesgue space. Consequently, the grand Lebesgue space is a Banach space, while the grand-quasi Lebesgue space is only a quasi-Banach space because it satisfies the quasi-triangle inequality instead of the ordinary triangle inequality. This study aims to prove the completeness property of the grand-quasi Lebesgue space through a literature study approach, referring to Formica et al. (2021) and other related resources. Before proving the completeness, it must first be shown that the space is a quasi-normed space. The results show that the grand-quasi Lebesgue space Gψ_(a,b) with 0<a<b≤1 is a quasi-normed space with quasi-triangle constant C=2^(1/a-1). Furthermore, it satisfies the completeness criterion for quasi-normed spaces, i.e., every series ∑_(k=1)^∞▒x_k satisfying ∑_(k=1)^∞▒〖C^k ‖x_k ‖ 〗_(Gψ_(a,b) )<∞ converges to some function in Gψ_(a,b) and satisfies the inequality ‖∑_(k=1)^∞▒x_k ‖_(Gψ_(a,b) )≤C∑_(k=1)^∞▒〖C^k ‖x_k ‖_(Gψ_(a,b) ) 〗. Therefore, the grand-quasi Lebesgue space is a quasi-Banach space.

ARABIC:

يعتبر فضاء غراند-كشبه لوبيغ امتدادا لفضاء غراند لوبيغ, ويكمن الفرق الرئيسي بينهما في نطاق القيمة p, حيث يكون p∈[1,∞] في فضاء غراند لوبيغ, و p∈(0,1] في فضاء غراند-كشبه لوبيغ. وبناء على ذلك, فإن فضاء غراند لوبيغ يعد فضاء باناخ, بينما فضاء غراند-كشبه لوبيغ يعد فقط فضاء شبه باناخ لأنه يحقق متباينة شبة المثلث بدلا من متباينة المثلث العادية. هدف هذا البحت خاصية الإكتمال في فضائ غراند-كشبه لوبيغ من خلال منهج الدراسة المكتبية, بالاعتماد على بحث فورميكا وأخرين (٢٠٢١) والمراجع ذات الصلة. وقبل إثبات الإكتمال, يجب أولا إثبات أن هذا الفضاء يعد فضاء معياري. ظهرت النتائج أن فضاء غراند-كشبه لوبيغ Gψ_(a,b) حيث 0<a<b≤1 يعد فضاء شبه معياري بثابت شبه المثلث C=2^(1/a-1). كما أنه يحقق معيار الإكتمال لفضاءات شبه المعيارية, أي أن كل متسلسلة ∑_(k=1)^∞▒x_k تحقق ∑_(k=1)^∞▒〖C^k ‖x_k ‖_(Gψ_(a,b) ) 〗<∞ تتقارب إلى دالية في Gψ_(a,b) وتحقق المتباينة ‖∑_(k=1)^∞▒x_k ‖_(Gψ_(a,b) )≤C∑_(k=1)^∞▒〖C^k ‖x_k ‖_(Gψ_(a,b) ) 〗. وبناء على ذلك, فإن فضاء غراند-كشبه لوبيغ يعد فضاء شبه باناخ.