Sifat kelengkapan Subruang dari Ruang Bernorma-2

INDONESIA:
Ruang bernorma-2 merupakan generalisasi dari ruang bernorma yang memiliki konsep konvergensi, barisan Cauchy, dan kelengkapan. Salah satu kajian penting dalam ruang bernorma-2 adalah sifat kelengkapan pada subruangnya karena tidak setiap subruang secara otomatis mewarisi sifat kelengkapan dari ruang induknya. Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji sifat kelengkapan pada subruang ruang bernorma-2. Penelitian dilakukan menggunakan metode penelitian kepustakaan (library research) dengan pendekatan deduktif aksiomatik melalui pengkajian definisi, aksioma, lema, dan teorema yang berkaitan dengan ruang bernorma-2, kekonvergenan, dan barisan Cauchy. Pembahasan difokuskan pada subruang ruang bernorma-2 berdimensi sekurang-kurangnya dua pada ruang vektor riil. Hasil penelitian menunjukkan bahwa subruang Y dari ruang bernorma-2 lengkap X bersifat lengkap jika dan hanya jika Y merupakan himpunan tertutup di X. Hasil tersebut diperoleh dengan membuktikan bahwa setiap subruang lengkap merupakan himpunan tertutup di ruang induknya dan setiap subruang tertutup dari ruang bernorma-2 lengkap juga bersifat lengkap. Selain itu, diperoleh bahwa setiap barisan konvergen pada ruang bernorma-2 merupakan barisan Cauchy sehingga konsep konvergensi dan kelengkapan memiliki keterkaitan yang erat dalam pembahasan sifat kelengkapan subruang. Dengan demikian, sifat ketertutupan subruang menjadi syarat penting dalam menjamin kelengkapan subruang pada ruang bernorma-2.

ENGLISH:
A 2-normed space is a generalization of a normed space that possesses the concepts of convergence, Cauchy sequences, and completeness. One of the important topics in 2-normed spaces is the completeness property of its subspaces, since not every subspace automatically inherits the completeness property of its ambient space. This study aims to investigate the completeness property of subspaces in 2-normed spaces. The research was conducted using the library research method with a deductive-axiomatic approach through the study of definitions, axioms, lemmas, and theorems related to 2-normed spaces, convergence, and Cauchy sequences. The discussion focuses on subspaces of 2-normed spaces with dimension at least two over real vector spaces. The results show that a subspace Y of a complete 2-normed space X is complete if and only if Y is a closed subset of X. This result is obtained by proving that every complete subspace is closed in its ambient space and that every closed subspace of a complete 2-normed space is also complete. In addition, it is shown that every convergent sequence in a 2-normed space is a Cauchy sequence, indicating that the concepts of convergence and completeness are closely related in the study of the completeness property of subspaces. Therefore, the closedness of a subspace is an essential condition for guaranteeing the completeness of subspaces in 2-normed spaces.

ARABIC:
يهدف هذا البحث إلى دراسة خاصية الكمال للفضاءات الجزئية في الفضاءات ذات المعيار-٢. استُخدم في هذا البحث منهج البحث المكتبي بالمدخل الاستنباطي الأكسيوماتيكي من خلال دراسة التعريفات والمسلمات واللمّات والنظريات المتعلقة بالفضاءات ذات المعيار-٢، والتقارب، ومتتاليات كوشي. وتركّز الدراسة على الفضاءات الجزئية من الفضاءات ذات المعيار-٢ ذات البعد الذي لا يقل عن اثنين على الفضاءات المتجهية الحقيقية.أظهرت نتائج البحث أن الفضاء الجزئي من الفضاء ذي المعيار-٢ الكامل يكون كاملاً إذا وفقط إذا كان هذا الفضاء الجزئي مجموعة مغلقة في الفضاء الأصلي. كما تبيّن أن كل متتالية متقاربة في الفضاء ذي المعيار-٢ هي متتالية كوشي. وقد تضمّن البحث مثالًا لبرهان خاصية الكمال في فضاء جزئي داخل ℝ³ باستخدام معيار-٢ المعرّف بجداء المتجهات الاتجاهي. وبذلك، فإن خاصية الانغلاق للفضاء الجزئي تُعد شرطًا مهمًا لضمان كمال الفضاءات الجزئية في الفضاءات ذات المعيار-٢. ومن المتوقع أن تسهم نتائج هذا البحث في إثراء دراسة التحليل الدالي، خاصة فيما يتعلق ببنية الفضاءات ذات المعيار-٢ وخصائص كمالها