Dimensi dari hasil kali dua subgrup normal dalam grup dihedral D_2n

INDONESIA:

Penelitian ini membahas hubungan antara dimensi dari hasil kali dua subgrup normal, jumlah dimensi subgrup normal, dan dimensi irisan subgrup normal pada grup dihedral D_2n. Penelitian ini merupakan penelitian kualitatif dengan pendekatan studi literatur. Tahapan penelitian dilakukan dengan mengklasifikasikan subgrup normal, menentukan kelas konjugasi dari masing-masing subgrup normal, kemudian menghitung dimensi setiap subgrup normal, selanjutnya menentukan dimensi dari hasil kali dan irisan dua subgrup normal, selanjutnya menentukan hubungan dimensi dari hasil kali dua subgrup normal dengan jumlah dimensi subgrup normal, dan dimensi irisan subgrup normal. Hasil penelitian menunjukkan bahwa setiap subgrup normal pada grup dihedral dengan n ganjil memiliki dimensi satu, sedangkan pada n genap terdapat subgrup normal yang berdimensi satu dan dua bergantung pada struktur kelas konjugasinya. Selain itu, diperoleh hubungan antara dimensi subgrup normal N_1 dan N_2 pada grup dihedral D_2n dengan n ganjil berlaku hubungan dim⁡(N_1 N_2 )=dim⁡(N_1 )+dim⁡(N_2 )-dim⁡(N_1∩N_2). Hal ini disebabkan seluruh subgrup normal pada kasus n ganjil memiliki nilai dimensi satu. Sementara itu, pada kasus n genap ditemukan pasangan subgrup normal yang tidak memenuhi hubungan tersebut sehingga hubungan tersebut tidak dapat di generalisasi untuk seluruh grup dihedral D_2n dengan n genap. Ditemukannya pasangan yang tidak memenuhi hubungan tersebut dipengaruhi oleh struktur kelas konjugasi yang lebih kompleks, khususnya karena elemen refleksi terbagi ke dalam dua kelas konjugasi berbeda sehingga terdapat subgrup normal yang memiliki dimensi lebih dari satu.

ENGLISH:

This study examines the relationship between the dimensions of the product of two normal subgroups, the number of dimensions of normal subgroups, and the dimensions of the intersection of normal subgroups in the dihedral group D_2n. This is a qualitative study using a literature review approach. The research stages were carried out by classifying normal subgroups, determining the conjugacy class of each normal subgroup, then calculating the dimension of each normal subgroup, subsequently determining the dimension of the product and intersection of two normal subgroups, and finally determining the relationship between the dimension of the product of two normal subgroups and the number of dimensions of the normal subgroups, as well as the dimension of the intersection of normal subgroups. The results show that every normal subgroup in a dihedral group with an odd n has dimension one, whereas for even n, there are normal subgroups with dimensions one and two depending on the structure of their conjugacy classes. In addition, a relationship between the dimensions of the normal subgroups is obtained N_1 and N_2 in the dihedral group D_2n with odd n holds: dim⁡〖 (N_1 N_2) 〗=dim⁡(N_1)+ dim⁡(N_2)- dim⁡(N_1∩N_2). This is because all normal subgroups in the case of odd n have dimension one. Meanwhile, for even n, pairs of normal subgroups were found that do not satisfy this relation, so the relation cannot be generalized to all dihedral groups D_2nwith even n. The discovery of pairs that do not satisfy this relationship is influenced by a more complex conjugation class structure, particularly because the reflexive elements are divided into two different conjugation classes, resulting in a normal subgroup with more than one dimension.

ARABIC:

تتناولو هذه الدراسة العلاقة بين أبعاد حاصل ضرب مجموعتين فرعيتين عاديتين، وعدد أبعاد المجموعات الفرعية العادية، وأبعاد تقاطع المجموعات الفرعية العادية في المجموعة الثنائية السطوح D_2n. وتعد هذه الدراسة بحثًا نوعيًا يعتمد على نهج دراسة الأدبيات. تم تنفيذ مراحل البحث من خلال تصنيف المجموعات الفرعية العادية، وتحديد فئة الاقتران لكل مجموعة فرعية عادية، ثم حساب أبعاد كل مجموعة فرعية عادية، ثم تحديد أبعاد حاصل ضرب وتقاطع مجموعتين فرعيتين عاديتين، ثم تحديد العلاقة بين أبعاد حاصل ضرب مجموعتين فرعيتين عاديتين وعدد أبعاد المجموعات الفرعية العادية، وأبعاد تقاطع المجموعات الفرعية العادية. أظهرت نتائج البحث أن كل مجموعة فرعية عادية في المجموعة الثنائية الأوجه ذات n فردي لها بُعد واحد، بينما في حالة n زوجي توجد مجموعات فرعية عادية ذات بُعد واحد وبُعدين اعتمادًا على بنية فئة التزاوج الخاصة بها. بالإضافة إلى ذلك، تم التوصل إلى علاقة بين أبعاد المجموعات الفرعية الطبيعيةN_1 و N_2 في المجموعة الثنائية الأوجه D_2nحيث n فردي، حيث تنطبق العلاقة dim⁡(N_1 N_2 )=dim⁡(N_1 )+dim⁡(N_2 )-dim⁡(N_1∩〖 N〗_2 ).ويرجع ذلك إلى أن جميع المجموعات الفرعية العادية في حالة n الفردي لها قيمة أبعاد تساوي واحد. وفي الوقت نفسه، في حالة n الزوجي، تم العثور على أزواج من المجموعات الفرعية العادية التي لا تستوفي هذه العلاقة، وبالتالي لا يمكن تعميم هذه العلاقة على جميع المجموعات الثنائية الأوجه D_2n. ذات n الزوجي. ويُعزى العثور على أزواج لا تستوفي هذه العلاقة إلى بنية فئات التناظر الأكثر تعقيدًا، لا سيما أن عناصر الانعكاس تنقسم إلى فئتين مختلفتين من فئات التناظر، مما يؤدي إلى وجود مجموعات فرعية عادية ذات أبعاد تزيد عن واحد.