Bilangan Kromatik titik Graf pembagi nol atas modul

INDONESIA:
Modul merupakan himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan perkalian skalar oleh elemen-elemen dari suatu ring. Pembagi nol pada suatu modul adalah seluruh elemen pada modul yang merupakan hasil perkalian annihilator dengan modul tersebut. Himpunan pembagi nol ini dapat direpresentasikan dalam bentuk graf, yang disebut sebagai graf pembagi nol atas modul, yaitu graf yang titik-titiknya merupakan pembagi nol dan dua titik saling terhubung langsung apabila keduanya dikalikan hasilnya adalah nol. Salah satu parameter penting dalam teori graf adalah bilangan kromatik titik, yaitu jumlah minimum warna yang digunakan untuk mewarnai seluruh titik pada graf. Tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan rumus umum graf pembagi nol atas modul. Pada penelitian ini, modul yang digunakan adalah modul Z_pq,Z_(p^2 ), dan Z_4p atas ring Z dengan bilangan prima p,q>2. Dengan memperhatikan sifat-sifat himpunan pembagi nol pada masing-masing modul, diperoleh gambaran hubungan antar elemen pembagi nol yang kemudian di nyatakan dalam bentuk graf. Pola graf yang muncul digunakan untuk mengidentifikasi bentuk graf dan menentukan bilangan kromatik titiknya. Hasil penelitian menunjukkan bahwa graf pembagi nol atas modul Z_pq dan Z_4p membentuk graf bipartisi, sedangkan graf pembagi nol atas modul Z_(p^2 ) membentuk graf lengkap. Melalui penerapan beberapa teorema, diperoleh bahwa bilangan kromatik titik pada modul Z_pq,Z_(p^2 ), dan Z_4p adalah sebagai berikut:
χ(Γ(Z_pq ))=2
χ(Γ(Z_(p^2 ) ))=p-1
χ(Γ(Z_4p ))=2.

INGGRIS:
Module is a nonempty set equipped with scalar multiplication by elements of a ring. The zero divisors of a module are all elements of the module that arise from the multiplication of the module by its annihilator. This set of zero divisors can be represented in the form of a graph, referred to as the zero divisor graph over a module, in which the vertices correspond to zero divisors and two vertices are adjacent if the product of the corresponding elements is zero. The chromatic number is the minimum number of colors required to color all vertices of the graph. The aim of the study is to determine the general formula of the zero divisor graph of a module. In this research, the modules used are Z_pq,Z_(p^2 ), and Z_4p over the ring Z where p and q are prime numbers over 2. By examining the properties of the set of zero divisors in each module, the relationships among zero divisor elements are identified and subsequently represented in the form of graphs. The resulting graph patterns are used to determine the structure of the graphs and to establish their vertex chromatic numbers. The results show that the zero divisor graphs over the modules Z_pq and Z_4p form bipartite graphs, whereas the zero divisor graph over the module Z_(p^2 ) forms a complete graph. Based on the application of several theorems, the vertex chromatic numbers of the modules Z_pq,Z_(p^2 ), and Z_4pare obtained as follows:
χ(Γ(Z_pq ))=2
χ(Γ(Z_(p^2 ) ))=p-1
χ(Γ(Z_4p ))=2.

ARABIC:
modul هي مجموعة غير فارغة مجهزة بضرب قياسي بعناصر حلقة. القواسم الصفرية للوحدة هي جميع العناصر في الوحدة التي هي نتيجة ضرب المبيد في الوحدة. يمكن تمثيل مجموعة القواسم الصفرية في شكل رسم بياني يمكن تسميته رسم البياني للقسمة الصفرية على الوحدة، أي رسم البياني تكون رؤوسه قواسم صفرية ويتصل رأسان مباشرتان إذا كانت نتيجة الضرب صفرًا. العدد اللوني للرأس هو الحد الأدنى لعدد الألوان المستخدمة لتلوين جميع الرؤوس في الرسم البياني. الغرض من هذه الدراسة هو تحديد الصيغة العامة لرسم بياني للقسمة الصفرية على وحدة. في هذه الدراسة، الوحدات المستخدمة هي وحدات Z_pq وZ_(p^2 ) وZ_4pمع الحلقة Z حي p,q>2أعداد أولية. من خلال ملاحظة خصائص مجموعة قواسم الصفر في كل وحدة، يتم الحصول على صورة للعلاقة بين عناصر قواسم الصفر، والتي تُعبَّر عنها بعد ذلك في شكل بياني. يُستخدم نمط الرسم البياني الناتج لتحديد شكل الرسم البياني وتحديد العدد اللوني لرؤوسه. تُظهر النتائج أن رسوم قواسم الصفر البيانية على الوحدتين Z_pq و Z_4p تُشكِّل رسمًا بيانيًا ثنائي التقسيم، بينما يُشكِّل رسم قواسم الصفر البياني على الوحدة Z_(p^2 )رسمًا بيانيًا كاملًا. من خلال تطبيق عدة نظريات، تم التوصل إلى أن العدد اللوني للرؤوس في الوحدات Z_(p^2 ) و Z_(p^2 ) و Z_4p هو كما يلي:
χ(Γ(Z_pq ))=2
χ(Γ(Z_(p^2 ) ))=p-1
χ(Γ(Z_4p ))=2.