Product-Norm pada ruang Linear

ABSTRAK:

Penelitian ini membahas tentang Product-Norm pada Ruang Linear, yang merupakan pengembangan dari konsep ruang vektor dan ruang bernorma. Product-norm digunakan untuk mengukur “panjang” atau “besarnya” elemen pada hasil kali dua ruang vektor bernorma, seperti V_1×V_2. Beberapa bentuk product-norm yang umum digunakan antara lain norm Euclidean, norm maksimum, dan norm jumlah, yang masing-masing memberikan struktur topologis berbeda namun tetap memenuhi aksioma norm. Penelitian ini bertujuan untuk membuktikan keberadaan dan sifat-sifat product-norm pada ruang linear, termasuk sifat linearitas, homogenitas, ketaksamaan segitiga, dan kelengkapan ruang (completeness). Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa jika setiap komponen ruang produk merupakan ruang Banach, maka ruang produk tersebut juga merupakan ruang Banach terhadap product-norm.
 
ABSTRACT:

This study discusses Product-Norm in Linear Space, which is an extension of the concepts of vector space and normed space. Product-norm is used to measure the “length” or “magnitude” of elements in the product of two normed vector spaces, such as V_1×V_2. Some commonly used forms of product-norm include Euclidean norm, maximum norm, and sum norm, each of which provides a different topological structure but still satisfies the norm axioms. This study aims to prove the existence and properties of product-norms in linear spaces, including linearity, homogeneity, triangle inequality, and space completeness. The results show that if each component of the product space is a Banach space, then the product space is also a Banach space with respect to the product-norm.
 
مستخلص البحث:

تتناول هذه الدراسة موضوع المعيار الناتج في الفضاءات الخطية، وهو تطوير لمفهوم الفضاءات المتجهية والفضاءات المعيارية. يُستخدم المعيار الناتج لقياس "طول" أو "مقدار" العناصر في حاصل ضرب فضاءين متجهيين معياريين، مثل V_1×V_2. ومن أشهر أشكال المعيار الناتج: المعيار الإقليدي، ومعيار القيم العظمى، ومعيار المجموع، حيث يمنح كلٌّ منها بنية طوبولوجية مختلفة، لكنها جميعًا تفي بمسلَّمات المعيار. وتهدف هذه الدراسة إلى إثبات وجود وخصائص المعيار الناتج في الفضاء الخطي، بما في ذلك خاصية الخطية، والتجانس، ولا مساواة المثلث، وكذلك خاصية الاكتمال (completeness). وتشير النتائج إلى أنه إذا كان كل مكوّن من مكوّنات الفضاء الناتج فضاء بانخ، فإن الفضاء الناتج نفسه يكون أيضًا فضاء بانخ بالنسبة للمعيار الناتج.