Teorema Hahn-Banach untuk fungsional linier terbatas

INDONESIA:
Fungsional linier f merupakan pemetaan dari suatu ruang vektor X ke lapangan K, baik (R atau C) yang memenuhi dua sifat yakni aditivitas dan homogenitas. Adapun beberapa sifat lain dari fungsional linier, salah satunya yaitu sifat terbatas. Penelitian ini memiliki tujuan untuk membuktikan sifat fungsional linier terbatas menggunakan Teorema Hahn-Banach. Teorema Hahn-Banach merupakan teorema yang membahas mengenai perluasan fungsional linier. Dengan demikian, hasil penelitian ini telah menunjukkan bahwa dengan Teorema Hahn-Banach setiap elemen x_0≠0 pada ruang bernorma dapat dihubungkan dengan suatu fungsional linier terbatas f ̃ yang memenuhi f ̃(x_0 )=1 dan ‖f ̃ ‖=‖x_0 ‖^(-1). Kemudian Fungsional linier yang didefinisikan dari fungsional riil dapat diperluas ke ruang vektor kompleks dengan struktur f ̃(x)=f ̃_1 (x)-if ̃_1 (ix) dan terbukti memenuhi f ̃(ix)=if ̃(x). Penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat dan dapat menjadi referensi tambahan.

ENGLISH:
A linear functional f is a mapping from a vector space X to a field K, (R or C), that satisfies two properties, additivity and homogeneity. Among the various properties of linear functionals, one important property is boundedness. This research is to prove the boundedness property of linear functionals using the Hahn-Banach Theorem. The Hahn-Banach Theorem addresses the extension of linear functionals. Thus, the results of this research show that with the Hahn-Banach Theorem, every element x_0≠0 in a normed space can be associated with a bounded linear functional f ̃ such that f ̃(x_0 )=1 dan ‖f ̃ ‖=‖x_0 ‖^(-1). Furthermore, a linear functional defined on a real vector space can be extended to a complex vector space using the structure f ̃(x)=f ̃_1 (x)-if ̃_1 (ix), and it is proven that this extension satisfies f ̃(ix)=if ̃(x). This research is expected to be beneficial and serve as an additional reference.

ARABIC:
الدالة الخطية هي تطبيق من فضاء متجه إلى الحق ، أو ، وتحقق خاصيتين هما الإضافية والتجانس. بالإضافة إلى ذلك، هناك خصائص أخرى للدوال الخطية، من بينها خاصية المحدودية. هدف هذا البحث إلى إثبات خاصية المحدودية للدوال الخطية باستخدام نظرية هان-باناخ. نظرية هان-باناش هي نظرية أساسية تتعلق بتوسيع الدوال الخطية. وقد أظهرت نتائج هذا البحث أنه من خلال تطبيقق نظرية هان-باناخ، فإنه لكل عنصر غير صفري في فضاء معياري، توجد دالة خطية محدودة تحقق و . بعد ذلك، يمكن توسيع دالة خطية معرفة على فضاء متجه حقيقي إلى فضاء متجه مركب بالصيغةوقد ثبت أنها تحقق ومن المأمول أن يكون هذا البحث مفيدًا وأن يشكل مرجعًا إضافيًا.