Konstruksi fungsi lyapunov pada model lotka-volterra

ABSTRAK:

Penelitian ini dilatarbelakangi oleh pentingnya analisis kestabilan dalam sistem dinamis yang memodelkan interaksi antara dua entitas yang saling bersaing. Model Lotka–Volterra digunakan untuk menggambarkan dinamika kompetisi antara dua populasi, kemudian dimodifikasi berdasarkan data pengguna sistem operasi Android dan iOS di Indonesia. Penelitian ini bertujuan untuk mengonstruksi fungsi Lyapunov guna membuktikan kestabilan sistem secara asimtotik lokal pada titik kesetimbangan non-trivial. Model dianalisis dengan pendekatan sistem nonlinier dua dimensi, dan fungsi Lyapunov dibentuk menggunakan bentuk umum logaritmik dengan titik ekuilibrium yang dihitung secara simbolik dan numerik. Hasil analisis menunjukkan bahwa fungsi Lyapunov yang dikonstruksi memenuhi sifat positif definit dan memiliki turunan waktu yang bernilai negatif di sekitar titik kesetimbangan. Simulasi numerik dengan Maple memperkuat hasil tersebut, menunjukkan bahwa solusi sistem cenderung menuju titik kestabilan secara monoton. Penelitian ini menyimpulkan bahwa pendekatan fungsi Lyapunov efektif dalam menganalisis kestabilan sistem kompetitif dua entitas, dan dapat digunakan untuk mengevaluasi dinamika model yang dimodifikasi sesuai konteks dunia nyata.

ABSTRACT:

This study is motivated by the importance of stability analysis in dynamical systems that model the interaction between two competing entities. The Lotka–Volterra model is used to describe the dynamics of competition between two populations and is modified using data on Android and iOS operating system users in Indonesia. The objective of this research is to construct a Lyapunov function to prove the local asymptotic stability of the system at a non-trivial equilibrium point. The model is analyzed through a two-dimensional nonlinear system approach, and the Lyapunov function is formulated using a general logarithmic form with equilibrium points obtained symbolically and numerically. The analysis results show that the constructed Lyapunov function satisfies the positive definite property and has a negative time derivative near the equilibrium point. Numerical simulations using Maple support these findings, indicating that the system solution converges monotonically to the equilibrium point. This study concludes that the Lyapunov function approach is effective in analyzing the stability of a competitive two-entity system and can be applied to evaluate modified models in real-world contexts.

مستخلص البحث:

ينبع هذا البحث من أهمية تحليل الاستقرار في الأنظمة الديناميكية التي تُنمذج التفاعل بين كيانين متنافسين. يُستخدم نموذج لوتكا-فولتيرا لوصف ديناميكيات المنافسة بين مجموعتين سكانيتين، ثم يُعدل بناءً على بيانات من مستخدمي أنظمة التشغيل أندرويد وiOS في إندونيسيا. تهدف هذه الدراسة إلى بناء دالة ليابونوف لإثبات استقرار النظام محليًا بشكل مقارب عند نقطة توازن غير تافهة. يُحلل النموذج باستخدام نهج نظام غير خطي ثنائي الأبعاد، وتُشكل دالة ليابونوف باستخدام صيغة لوغاريتمية عامة مع نقاط توازن محسوبة رمزيًا وعدديًا. تُظهر نتائج التحليل أن دالة ليابونوف المُنشأة تُلبي الخاصية المحددة الموجبة ولها مشتق زمني سالب حول نقطة التوازن. تُعزز المحاكاة العددية باستخدام مابل هذه النتائج، مما يُظهر أن حل النظام يميل إلى التحرك بشكل رتيب نحو نقطة الاستقرار. وتخلص هذه الدراسة إلى أن نهج دالة ليابونوف فعال في تحليل استقرار النظام التنافسي المكون من كيانين، ويمكن استخدامه لتقييم ديناميكيات النموذج المعدل وفقًا لسياق العالم الحقيقي..