Dekomposisi modul Zn atas Z

INDONESIA:

Modul merupakan generalisasi dari ruang vektor yang mana memungkinkan lapangan digantikan oleh ring sebagai skalarnya. Modul atas daerah ideal utama merupakan modul dimana skalarnya berupa daerah ideal utama. Modul Z_n atas Z merupakan salah satu contoh modul atas daerah ideal utama, yang terdiri atas bilangan bulat modulo n. Untuk menganalisis suatu struktur yang lebih mendalam, dapat digunakan dekomposisi. Dekomposisi diartikan sebagai proses penguraian, yang bertujuan untuk dapat menganalisis dengan lebih detail. Dekomposisi modul berarti memecah struktur modul menjadi bentuk yang lebih sederhana. Dekomposisi primer pada modul menunjukkan bahwa suatu modul dapat dipecah menjadi submodul-submodul primer.
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah pendekatan studi literatur. Adapun tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu diawali dengan melengkapi pembuktian teorema dekomposisi primer. Sebelum melakukan proses dekomposisi, terlebih dahulu ditunjukkan bahwa modul Z_n atas Z merupakan modul torsi atas daerah ideal utama dan dengan order yang dapat dinyatakan dalam faktorisasi prima. Proses dekomposisi modul Z_n atas Z dilakukan dalam empat tahapan. Berdasarkan hasil dari penelitian yang dilakukan, hasil dekomposisi modul Z_n atas Z untuk n bilangan dengan satu faktor prima didapatkan modul Z_n atas Z dapat dinyatakan sebagai jumlah langsung submodul-submodul primer Z_n=Z_n. Sedangkan untuk n bilangan dengan lebih dari satu faktor prima dapat dinyatakan sebagai jumlah langsung submodul-submodul primer Z_n=n/(p_1^(e_1 ) ) Z_n⊕n/(p_2^(e_2 ) ) Z_n⊕…⊕n/(p_k^(e_k ) ) Z_n.

ENGLISH:

Modules is a generalization of vector space that allows fields to be replaced by rings as scalars. A module over a principal ideal domain is a module where the scalar is a principal ideal domain. The module Z_n over Z is an example of such a module, consisting of integers modulo n. To analyze a structure in greater depth, decomposition can used. Decomposition is defined as the process of breaking down a structure to facilitate detailed analysis. Module decomposition refers to breaking down a module structure into simpler forms. Primary decomposition of a module indicates that a module can be decomposed into primary submodules.
The method used in this research is a literature review. The research process begins with completing the proof of the primary decomposition theorem. Before perfoming the decomposition process, it is first demonstrated that the module Z_n over Z is a torsion module over a principal ideal domain with an order that can be expressed in prime factorization. The process of module Z_n over Z is carried out in four steps. Based on the results of research conducted, the results of the decomposition of the module Z_n over Z for n numbers with one prime factor obtained the module Z_n over Z can be expressed as a direct sum of primary submodules Z_n=Z_(p^e ). Meanwhile, for n numbers with more than one prime factor, it can be expressed as a direct sum of primary submodules Z_n=n/(p_1^(e_1 ) ) Z_n⊕n/(p_2^(e_2 ) ) Z_n⊕…⊕n/(p_k^(e_k ) ) Z_n.

ARAB:

الوحدات النمطية هي تعميم للفضاءات المتجهة التي تسمح باستبدال الحقل بحلقة ككمية قياسية له. الوحدة النمطية على منطقة مثالية أساسية هي وحدة نمطية تكون كميتها القياسية منطقة مثالية أساسية. الوحدة z_n على Z هي أحد الأمثلة على الوحدة النمطية على مناطق المثل الأعلى الرئيسية، والتي تتكون من الأعداد الصحيحة على مقياس n. لتحليل البنية بشكل أعمق، يمكن استخدام التحلل. يُعرَّف التحلل بأنه عملية تحليل، تهدف إلى التمكن من التحليل بمزيد من التفصيل. يعني تفكيك الوحدة النمطية تقسيم بنية الوحدة النمطية إلى أشكال أبسط. يشير التحلل الأولي على الوحدة النمطية إلى إمكانية تقسيم الوحدة النمطية إلى وحدات فرعية أولية. المنهج المستخدم في هذا البحث هو منهج الدراسة الأدبية. تبدأ المراحل التي تم تنفيذها في هذه الدراسة باستكمال إثبات نظرية التحلل الأساسي. قبل إجراء عملية التفكيك، يتم أولاً إثبات أن وحدة Z_n على Z هي وحدة على منطقة المثالية الرئيسية وبرتبة يمكن التعبير عنها بالعوامل الأولية. تتم عملية تحليل وحدة Z_nعلى Z على أربع مراحل. استنادًا إلى نتائج البحث الذي تم إجراؤه، يمكن التعبير عن نتائج عملية تفكيك وحدة Z_n على Z للأعداد n ذات العامل الأولي الواحد التي تم الحصول عليها وحدة Z_n على Z على شكل مجموع مباشر للوحدات الفرعية الأولية Z_n=Z_n. بينما بالنسبة للأعداد n التي تحتوي على أكثر من عامل أوّلي واحد، يمكن التعبير عنها كمجموع مباشر من الوحدات الفرعية الأولية Z_n=n/(p_1^(e_1 ) ) Z_n⊕n/(p_2^(e_2 ) ) Z_n⊕…⊕n/(p_k^(e_k ) ) Z_n.