Invers Moore Penrose dan aplikasinya pada sistem persamaan linier

INDONESIA:

Selama ini diketahui A^-1 merupakan invers matriks bujur sangkar A n × n yang invertibel, namun saat ini telah diketahui adanya invers untuk suatu matriks yang non invertibel dan berukuran m × n yang disebut Invers Moore Penrose. Invers Moore Penrose biasa dinotasikan dengan A^+ Konsep invers matriks n × n dapat digunakan sebagai alternatif untuk mencari solusi dari suatu sistem persamaan linier yang berbentuk Ax = b. Jika A adalah suatu matriks yang invertibel, maka solusi sistem persamaan tersebut dapat dihitung menggunakan rumus x = A^-1 b. Jika matriks A dari sistem tersebut non invertibel dan berukuran m × n maka solusi sistem tidak dapat dicari menggunakan aturan tersebut, sehingga dalam penelitian ini penulis akan mendeskripsikan cara menghitung invers matriks yang non invertibel dan mengaplikasikan invers Moore Penrose untuk menentukan solusi dari suatu sistem persamaan linier.

Dari hasil studi pustaka diperoleh langkah-langkah bagaimana menghitung invers matriks yang non invertibel dengan Invers Moore Penrose. Dimulai dengan (1) mereduksi A sehingga diperoleh matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi sebut E_A, (2) memilih kolom berbeda dari A dan tempatkan pada kolom-kolom matriks B yang berorder sama seperti tampak pada A, (3) memilih baris tak kosong dari E_A dan tempatkan pada baris matriks C yang berorder sama seperti tampak pada E_A, (4) menghitung (CC*)^-1 dan (B*B)^-1 dan (5) menghitung A^+ dengan rumus A^+ = C*(CC*)^-1 (B*B)^-1 B*

Invers Moore Penrose ada untuk setiap matriks, baik itu matriks yang invertibel atau yang tidak sekalipun. Selain itu, konsep invers Moore Penrose dapat diaplikasikan untuk menentukan solusi sistem persamaan linier yang berbentuk Ax = b dengan matriks A berukuran m × n dan non invertibel sehingga x = A^+ B

ENGLISH:

Is known for A^-1 is the inverse of the square matrix A n × n that invertible, it is now known of the inverse matrix of non invertible and size m × n is called Moore Penrose Inverse. Moore Penrose Inverse usual denoted by A^+ The concept of inverse matrix n × n can be used as an alternative to finding a solution of a system of linear equations Ax = b form. If Ais a matrix that invertibel, then the solution system of linear equations can be calculated using the formula x = A^-1 b. If the matrix A of the system is non invertibel and size m × n then the solution can not be searched using the system rules, so in this study the authors will described how to calculate the inverse matrix of non invertible and apply the Moore Penrose inverse to determine the solution of a system of linear equations.

From the results obtained literature steps how to calculate the Moore Penrose Inverse. Starting with (1) reduces A to obtain a matrix in reduced row echelon form called E_A, (2) selecting different columns of A and place it in columns B and the order with respect to the same matrix as shown in A, (3) select the row was non empty of E_A and place it on the line the first order matrix C as shown in E_A, (4) calculate (CC*)^-1 and (B*B)^-1 (5) calculate A^+ by the formula A^+ = C*(CC*)^-1 (B*B)^-1 B*.

Moore Penrose inverse can be used for any matrix, either a invertible or not though. Besides, Moore Penrose inverse concept can be applied to determine the solution of system of linear equations in the form Ax = b with a matrix A m × n and non invertible such that x = A^+ B.