K-Homomorfisme pada Q-Aljabar

INDONESIA :

Struktur aljabar merupakan himpunan yang tidak kosong dengan paling sedikit satu atau lebih operasi biner dan aksioma-aksioma yang berlaku. Salah satu struktur aljabar tersebut adalah K-Aljabar. K-Aljabar dibangun atas suatu grup dengan menggunakan operasi biner ʘ pada (G,*) sehingga untuk setiap x,y di G didefinisikan x ʘ y = x * y^-1 dan e adalah unsur identitas di G. Maka (G,*,ʘ,e) memenuhi aksioma-aksioma tertentu disebut K-Aljabar. Sedangkan Q-Aljabar merupakan K-Aljabar yang dibangun dari grup komutatif. Penelitian ini menggunakan metode library research untuk mengkaji sifat-sifat K-Homomorfisme. Misalkan K_1 dan K_2 merupakan suatu Q-Aljabar. Dan suatu pemetaan φ dari K_1 ke K_2 dinotasikan φ;K_1 → K_2 disebut K-Homomorfisme, jika untuk setiap x,y ϵ K_1 maka berlaku φ (x ʘ y) = φ(x) ʘ φ(y) dimana φ(x), φ(y) ϵ K_2.

Dari hasil penelitian ini dapat disimpulkan bahwa, sifat-sifat dari K-Homomorfisme adalah K-Homomorfisme φ disebut K-Monomorfisme, jika φ suatu pemetaan satu-satu (injektif). Untuk semua x dan y di G dengan φ(x) = φ(y), maka x = y. K-Homomorfisme φ disebut K-Epimorfisme, jika φ suatu pemetaan kepada (surjektif). Untuk setiap h ϵ H, terdapat g ϵ G sehingga φ(g) = h, dengan kata lain φ(G) = H. K-Homomorfisme φ disebut K-Isomorfisme, jika φ suatu pemetaan bijektif (injektif dan surjektif). Sedangkan sifat-sifat yang lain yaitu Misalkan K_1 = (G_1,*,ʘ,e_1) dan K_2 = (G_2,*,ʘ,e_2) merupakan dua K-Aljabar dan φ ϵ Hom (K_1, K_2), maka untuk x, y ϵ K_1 dan φ(x), φ(y)ϵ K_2 berlaku:
1) φ(e_1) = e_2
2) φ(x)^-1 = φ(x^-1)
3) φ(e_1,ʘ,x) = e_2,ʘ φ(x)
4) φ(x_1,ʘ,x_2) = e_2, jika dan hanya jika φ(x_1) = φ(x_2)

Untuk penulisan skripsi, penulis hanya memfokuskan pada pokok bahasan mengenai sifat-sifat K-Homomorfisme pada Q-Aljabar. Maka disarankan penulis menyarankan kepada peneliti lain untuk mengadakan penelitian secara lebih mendalam mengenai K-Homomorfisme pada Q-Aljabar, diantaranya tentang K-Isomorfisme.

ENGLISH :

Algebraic structure is a non-empty set with at least one or more binary operation and satisfying the following axioms. One of the algebraic structure is K- Algebra. K-algebra built on a group by using a binary operation ʘ on (G,*), so that for every x,y in G defined x ʘ y = x * y^-1 and e is the identity element in G. Then (G,*,ʘ,e) satisfies certain axioms called K-Algebra. While the Q-Algebra is a K-Algebra constructed from commutative groups. This study uses library research to study the properties of K-Homomorfisme. Suppose K_1 and K_2 is a Q-Algebra and a mapping φ from K_1 to K_2, denoted φ;K_1 → K_2 called K-Homomorfisme, if for any x,y ϵ K_1 shall apply φ (x ʘ y) = φ(x) ʘ φ(y) where φ(x), φ(y) ϵ K_2.

From this results it can be concluded that, the properties of the K-Homomorfisme φ called K-Monomorfisme φ, if φ a injektif. For all x and y in G with φ(x) = φ(y), then x = y. K-Homomorfisme called K-Epimorfisme φ if φ a surjektif. For each h ϵ H, there is g ϵ G so that φ(g) = h in other words φ(G) = H. And K-Homomorfisme called K-Isomorphism φ, if φ a bijective. As for the other properties, is Suppose of K_1 = (G_1,*,ʘ,e_1) and K_2 = (G_2,*,ʘ,e_2) are two K-Algebra and φ ϵ Hom (K_1, K_2), then for x, y ϵ K_1 and φ(x), φ(y)ϵ K_2 apply:
1) φ(e_1) = e_2
2) φ(x)^-1 = φ(x^-1)
3) φ(e_1,ʘ,x) = e_2,ʘ φ(x)
4) φ(x_1,ʘ,x_2) = e_2, if and only if φ(x_1) = φ(x_2)

For thesis writing, the author focuses only on the subject of the nature of K-Homomorfisme the Q-Algebra. Then advised the authors suggested to other researchers to conduct research in depth on K-Homomorfisme the Q-Algebra, of which about K-Isomorphism.