Diskritisasi sistem persamaan diferensial parsial tak linier pada pola pembentukan sel

INDONESIA :

Diskritisasi model merupakan prosedur transformasi model kontinu ke model diskrit. Diskritisasi dilakukan dengan menggunakan metode beda hingga skema eksplisit, yaitu dengan menurunkan persamaan diferensial parsial menjadi persamaan beda hingga. Pada skema eksplisit, variabel pada waktu dihitung berdasarkan variabel pada waktu n+1 yang sudah diketahui. Model yang digunakan dalam skripsi ini adalah model matematika sistem persamaan diferensial parsial tak linier pada pola pembentukan sel. Inti dari penelitian ini adalah melakukan konstruksi model diskrit pola pembentukan sel dan didapatkan solusi numerik model matematika pada pola pembentukan sel. Metode yang dilakukan terdiri dari 3 tahap, yaitu tahap penjabaran model, tahap diskritisasi masing-masing persamaan, dan tahap solusi numerik model diskrit.

Hasil dari penelitian ini didapatkan model diskrit sistem persamaan diferensial parsial tak linier pada pola pembentukan sel dalam bentuk umum:
n_i^(j+1)= A_1 n_(i-1)^j+(1+2A_1 ) n_i^j+A_1 n_(i+1)^j-A_2 n_(i+1)^j*c_(i+1)^j 〖+ A〗_2 n_(i+1)^j*c_(i-1)^j+ A_2 n_(i-1)^j*c_(i+1)^j+ A_2 n_(i-1)^j*c_(i-1)^j-A_3 n_i^j*c_(i-1)^j+2 A_3 n_i^j*c_i^j-A_3 n_i^j*c_(i+1)^j+s*r*∆t*n_i^j (1-n_i^j)
dengan A_1=D ∆t/(∆r^2),A_2=α ∆t/(4∆r^2 ),A_3=α ∆t/(∆r^2)
c_i^(j+1)=Bc_(i-1)^j+(1-2B) c_i^j+Bc_(i+1)^j+s*∆t((n_i^j)/(n_i^j+y) - c_i^j)
dengan B = ∆t/(∆r^2)
Dalam selang 0 ≤ r ≤ 1, model diskrit yang diamati saat ∆r = 0.01 dengan parameter D = 0.25, r = 0.04, α = 2, y = 1, s = 600, kondisi awal n = 1 dan c = 0.5 kondisi batas ∇n = 0 dan ∆c = 0. Kondisi awal n = 1, menunjukkan adanya gangguan terhadap pergerakan sel yang terjadi saat awal pembentukan. Perilaku n berhenti pada kondisi n = 1, yang mengartikan bahwa jumlah sel yang menghuni di suatu jaringan sudah penuh (padat). Kondisi awal c = 0.5, menunjukkan bahwa pergerakan sel berjalan mulus dan berhenti pada kondisi c < 5 untuk membentuk suatu kepadatan pada sel.

ENGLISH :

Discretization model is transformation a model in continuous form to be a discrete one. It can be done by using an explicit finite difference scheme, is reduce partial differential equation become finite difference equation. In the explicit scheme, variable at time is calculated based on the time variable n is already known. The model in this research is mathematical model of the system non linear partial differential equations on the pattern formation of cells. The purpose of the research is show construction the discrete model on the pattern formation of cells and obtained numerical solutions of mathematical models on the pattern formation of cells. This research was done by three steps, is elaboration step of the models, discretization step each of equations, and numerical solution step discrete models.

The results of this research obtain a discrete model system of partial differential equations non linear on the pattern formation of cells in general form:
n_i^(j+1)= A_1 n_(i-1)^j+(1+2A_1 ) n_i^j+A_1 n_(i+1)^j-A_2 n_(i+1)^j*c_(i+1)^j〖+ A〗_2 n_(i+1)^j*c_(i-1)^j+ A_2 n_(i-1)^j*c_(i+1)^j+ A_2 n_(i-1)^j*c_(i-1)^j-A_3 n_i^j*c_(i-1)^j+2 A_3 n_i^j*c_i^j-A_3 n_i^j*c_(i+1)^j+s*r*∆t*n_i^j (1-n_i^j)
with A_1=D ∆t/(∆r^2),A_2=α ∆t/(4∆r^2 ),A_3=α ∆t/(∆r^2)
c_i^(j+1)=Bc_(i-1)^j+(1-2B) c_i^j+Bc_(i+1)^j+s*∆t((n_i^j)/(n_i^j+y) - c_i^j)
with B = ∆t/(∆r^2)
In the interval 0 ≤ r ≤1, the observed discrete models when ∆r = 0.01 with parameter D = 0.25, r = 0.04, α = 2, y = 1, s = 600, the initial conditions n = 1 and c = 0.5 and conditions limit ∇n = 0 and ∆c = 0. Initial conditions n = 1, indicating a disruption of the cell movements that occur during early formation. Behavior n stops on the condition n=1, which means that the number of cells in a tissue inhabit is full (solid). Initial condition c = 0.5, indicating that the movement of cells running smoothl and stop on condition c < 5 to form a density in the cells.