Sistem Dynkin dan sifat-sifatnya

IDONESIA :

Matematika mempelajari teori ukuran yang mengkonstruksikan ukuran umum dan integral terhadap ukuran umum pada himpunan semesta sembarang. Hingga akhirnya seorang matematikawan dari Universitas Moskow, Eugene Dynkin seorang yang ahli di bidang aljabar mengembangkan konsep σ-aljabar sebelum belajar integral terhadap ukuran umum. Konsepnya yaitu kumpulan himpunan bagian dari sembarang himpunan semesta X yang harus memenuhi beberapa aksioma yang lebih lemah dibandingkan σ-aljabar. Selanjutnya konsep tersebut diberi nama sistem Dynkin atau kadang disebut d-sistem (Eugene Dynkin sendiri menggunakan istilah ini). Salah satu yang menarik dari konsep ini yaitu menganalisis sifat-sifat dari sistem Dynkin.

Berdasarkan latar belakang tersebut, maka penulis akan mengkaji tentang sifat-sifat sistem Dynkin beserta teorema-teoremanya. Dalam kajian ini, penulis mendeskripsikan tentang aljabar himpunan, σ-aljabar, ukuran secara umum dan sistem Dynkin. Setelah mengetahui definisi dari sistem Dynkin kemudian penulis mendeskripsikan sifat-sifat sistem Dynkin dan membuktikan teorema-teorema beserta mendeskripsikan contoh-contohnya.

Sistem Dynkin merupakan keluarga subset dari sembarang himpunan kuasa P(X), yang harus memenuhi aksioma (i) X∈D, (ii) D∈D → D^C∈D dan (iii) Jika (D_j)_j∈N⊂D himpunan-himpunan yang saling asing maka ⊍D_j∈N ∈D. Pada penelitian ini menganalisis beberapa teorema yang merupakan sifat dari sistem Dynkin, yakni (1) sistem himpunan G⊂P(X), terdapat sistem Dynkin terkecil δ(G) yang memuat G, (2) Sistem Dynkin D juga termasuk σ-aljabar jika dan hanya jika D irisan stabil yang berhingga (⋂-stabil) dan (3) Jika G⊂P(X) irisan stabil yang berhingga (⋂-stabil), maka δ(G)=σ(G).

ENGLISH :

Mathematics learn the measure theory that construct a measure and integral to the measure of another universal set. Until finally a mathematician from the University of Moskow, Eugene Dynkin an algebra expert developed the concept of σ-Algebras before learning integral to the measure. The concept is collection of subsets of another universal set X satisfying a set of axioms weaker than those of σ-algebras. Then the concept is given the name Dynkin sistem or sometimes referred to as d-system (Eugene Dynkin himself used this term). One of the highlights is a Dynkin system and properties. One of the highlights of this concept is to analyze the properties of Dynkin sytem.

Based on this background, the authors will examine the properties and their Dynkin system theorems. In this study, the authors describe the set algebra, σ-algebra, the measure and Dynkin system. After learning the definition of Dynkin system then the author describes the properties of Dynkin system and prove theorems along with examples describe.

Dynkin system is a family of any subsets of the power set P(X) which should satisfy the axioms (i) X∈D, (ii) D∈D → D^C∈D dan (iii) Jika (D_j)_j∈N⊂D pairwise disjoint than ⊍D_j∈N ∈D In this research analyze several theorems
that constitute properties of the Dynkin system namely: (1)
system of set G⊂P(X), then there is a smallest Dynkin system δ(G) containing G, (2) Dynkin system D is a σ-Algebra if, and only if, D is stable under finite intersections (⋂-stable) and (3) if G⊂P(X) is stable under finite intersections (⋂-stable), then δ(G)=σ(G).