Kajian Ortogonalitas Diminnie dan Roberts pada ruang bernorma (n-1) dengan (n≥2)

INDONESIA:

Penjelasan mengenai ruang bernorma telah banyak dikaji oleh para matematikawan, baik kajian dalam ruang bernorma, ruang bernorma 2 dan ruang bernorma n. Kajian tentang ruang bernorma dengan (n≥2) dikutip dari jurnal Gunawan dan Mashadi (2000) bahwa ruang bernorma (n-1) diperoleh dari penurunan ruang bernorma (n-1). Adapun ortogonalitas dalam ruang bernorma diilhami oleh ruang hasil kali dalam.

Skripsi ini bertujuan untuk mengkaji ortogonalitas Diminnie dan Roberts pada ruang n, dan menjelaskan bahwa jika pada ruang bernorma n berlaku ortogonalitas Diminnie dan ortogonalitas Roberts maka kedua ortogonal tersebut juga berlaku pada ruang bernorma (n-1) dengan (n≥2), pada lapangan himpunan bilangan riil.

Pembahasan menggunakan langkah-langkah yaitu: membuktikan ortogonalitas Diminnie dan ortogonalitas Roberts pada norma 2, kemudian menurunkannya dari norma 2 ke norma 1. Dengan menerapkan metode yang sama, dibuktikan sifat ortogonalitas Diminnie dan ortogonalitas Roberts pada norma (n-1).

Dari uraian tersebut, diperoleh teorema. Misal X adalah ruang vektor atas lapangan himpunan bilangan riil. Jika didefinisikan ||x_1,x_2,…,x_n ||=(<x_1,x_1|x_2,…,x_n>)^1/2. ||.,…,.|| mendefinisikan ruang bernorma n di X, dimana x dan y ortogonal maka berlaku:
i. Ortogonalitas Diminnie (D)
||x,y,x_2,…,x_n||=||x_1||||y|| ||x_2||…||x_n||
ii. Ortogonalitas Roberts (R)
||x-λy,x_2,…,x_n ||=||x-λy,x_2,…,x_n ||,λ∈R

Dan Jika x dan y ortogonal di ruang bernorma n maka ortogonal di ruang bernorma (n-1), sehingga x dan y orthogonal terhadap ∀x_2,…,x_n dengan n≥2, maka berlaku:
i. Ortogonalitas (D)
||x,y,x_2,…,x_(n-1)||=||x_1||||y||||x_2||…||x_(n-1)||
ii. Ortogonalitas Roberts (R)
||x-λy,x_2,…,x_(n-1)||=||x-λy,x_2,…,x_(n-1)||,λ∈R

Sehingga dengan menggunakan dua teorema di atas diperoleh bahwa ruang bernorma 1 sampai ruang bernorma n dapat dibuktikan berlakunya sifat ortogonalitas Diminie dan ortogonalitas Roberts.

ENGLISH:

The explanation about the normed space has been widely examined by mathematicians, either it is the normed space, norm 2 space , or norm n space. The study of the norm (n≥2), quoted by Gunawan and Mashadi (2000), concluded that the norm (n-1) space is a derived of the norm n space is a norm (n-1) space. The orthogonality in a normed space is inspired by the inner product space.

This study is conducted to examine the Diminnie and Roberts orthogonality in normn space and explain that, if prevailing the Diminnie and Roberts orthogonality within the norm (n-1) space with (n≥2), in the real number set field.

This study uses these steps: proving Diminnie and Roberts orthogonality on norm 2 and then deriving it from norm 2 into norm 1. By applying the same method, it can prove the property of Diminnie and Roberts orthogonality on norm (n-1).

From the description above, the researcher obtained theorem. Let X is a vector space over the real number et field. To be defined ||x_1,x_2,…,x_n ||=(<x_1,x_1|x_2,…,x_n>)^1/2. ||.,…,.|| defines the norm X, in which x and y orthogonal, then it can apply:
i. Ortogonalitas Diminnie (D)
||x,y,x_2,…,x_n ||=||x_1||||y||||x_2||…||x_n||
ii. Ortogonalitas Roberts (R)
||x-λy,x_2,…,x_n||=||x-λy,x_2,…,x_n||,λ∈R

If x and y orthogonal are in the norm n space, then the orthogonal is in the normed (n-1) space, so that x and y orthogonal in ∀x_2,…,x_n with n≥2, then it can apply:
i. Ortogonalitas (D)
||x,y,x_2,…,x_(n-1)||=||x_1||||y||||x_2||…||x_(n-1)||
ii. Ortogonalitas Roberts (R)
||x-λy,x_2,…,x_(n-1)||=||x-λy,x_2,…,x_(n-1)||,λ∈R

So, by applying the both theorems, the result of this study is that the norm 1 space to norm n space are proven the validity of Diminnie and Roberts orthogonality property.