Ruang Frechet pada R^n

INDONESIA:

Ruang Frechet merupakan kelas khusus dari topologi ruang vektor dan struktur topologi pada ruang Frechet lebih rumit dari topologi biasa. Topologi pada ruang Frechet memiliki sifat Hausdorff atau memenuhi aksioma pemisahan, ruang Frechet memiliki konveksitas lokal di persekitaran 0, serta bersifat completely metrizable atau dengan kata lain terdapat metrik yang lengkap pada topologinya. Dengan keempat sifat tersebut maka ruang dikatakan sebagai ruang Frechet.

Inti dari penelitian ini adalah membuktikan bahwa topologi ruang vektor R^n merupakan topologi ruang vektor yang complete Hausdorff metrizable locally convex. Dengan cara membuktikan bahwa R^n merupakan topologi ruang vektor yang Hausdorff, kemudian membuktikan bahwa pada topologi ruang vektor R^n terdapat konveksitas lokal di persekitaran 0, kemudian membuktikan bahwa terdapat metrik yang lengkap.

Hasil dari penelitian ini diperoleh bahwa topologi ruang vektor R^n merupakan topologi yang Hausdorff. Pada konveksitas lokal di persekitaran 0 topologinya merupakan topologi yang dibangkitkan oleh keluarga seminorm P dan topologi tersebut disimbolkan dengan (...) . Kemudian pada topologi (...) terdapat metrik d, di mana metrik d merupakan metrik translation invariant yang pada metrik tersebut setiap barisan Cauchy konvergen. Karenanya, topologi ruang vektor pada R^n merupakan ruang Frechet.

ENGLISH:

Frechet Space is special class of topological vector space and topological structure of topological vector space is more complicated than the usual topology. The topology of Frechet space has a Hausdorff property or satisfy the axiom of separation, Frechet space has local convexity at a neighborhood of zero, and also has the completely metrizable property or in other word there is a metric which is complete in its topology. By those four properties then some space X is said to be Frechet space.

The aim of this research is to prove that topological vector space R^n is complete Hausdorff metrizable locally convex topological vector space. By proving that R^n is Hausdorff topological vector space, then proving that topological vector space R^n has a local convexity around the neighborhood of zero, and the last proving that there is a metric which is complete.

The result of this is obtained that the topological vector space n is a Hausdorff topology. On the local convexity around the neighborhood of zero, the topology on it is generated by family of seminorms P and this topology denoted by (...). In the topology (...) , there is a metric d, where the metric d is a translation invariant metric. In this metric, every Cauchy sequence converges. Hence, the topological vector space R^n is a Frechet space.