Penyelesaian persamaan Van Der Pol menggunakan metode Adams Bashforth Moulton orde empat

INDONESIA:

Persoalan yang melibatkan model matematika terutama bentuk persamaan diferensial seringkali muncul dalam penerapan. Sebagai contoh, bentuk persamaan diferensial biasa Van der Pol yang prosesnya diturunkan dari masalah sirkuit RLC. Persamaan Van der Pol diperoleh dari penelitian yang dipelajari Balthazar Van der Pol tahun 1920 untuk tipe sirkuit yang sama dengan RLC, tetapi dengan resistor pasif dari hukum Ohm diganti dengan elemen aktif yang dibentuk dari tabung triode tertutup (semikonduktor). Persamaan ini merupakan bentuk persamaan diferensial non linier yang sulit diselesaikan secara analitik, sehingga penyelesaiannya dapat dilakukan secara numerik, di antaranya dapat menggunakan metode Adams Bashforth Moulton orde empat.

Pada penelitian ini, penyelesaian persamaan Van der Pol menggunakan metode Adams Bashforth Moulton orde empat dimana x(0)=1, y(0)=0, t=[0,50], µ=1 dan masing-masing tiga nilai awal x dan y diperoleh dari metode Runge Kutta untuk h=0.04 , maka diperoleh bahwa pada saat t=0.16, nilai x=0.98722205 dan nilai y=-0.15948063 dengan galat perlangkah untuk x dan y berturut-turut adalah 0.000000016 dan 0.000000009 . Solusi x(t) yang awalnya lebih kecil secara bertahap meningkat dalam amplitudo dan solusi y(t) yang lebih kecil pula meningkat secara bertahap sehingga masing-masing solusi mencapai batas osilasi tertentu.

Selanjutnya analisis perilaku dinamik dari persamaan Van der Pol menunjukkan bahwa persamaan Van der Pol di sekitar titik tetap (0,0) merupakan titik spiral yang tak stabil. Semua trayektori bergerak menuju orbit periodik yang tunggal.

ENGLISH:

Problems involving mathematical models, especially the form of differential equations often arise in the application. For example, the form of ordinary differential equations the process Van der Pol derived from RLC circuit problem. Van der Pol equation obtained from the research are studied Balthazar Van der Pol in 1920 for the same type with the RLC circuit, but with a passive resistor from Ohm's law is replaced by an active element formed from a closed triode tubes (semiconductor). This equation is a form of non-linear differential equations are difficult to solve analytically, so the solution can be done numerically, of whom can use method of fourth order Adams Bashforth Moulton.

In this study, the completion of the Van der Pol equation using the fourth order Adams Bashforth Moulton where x(0)=1, y(0)=0, t=[0,50],µ=1 and each of the three initial values and is obtained from the Runge Kutta method for h = 0.04 , it was found that at the time t = 0.16 , the value of x=0.98722205 and y=-0.15948063 with perlangkah error for and x and y, respectively, 0.000000016 and 0.000000009. Solution x(t) is initially smaller gradually increased in amplitude and the solution y(t) is also smaller increases gradually so that each oscillation solution reaches a certain limit.

Further analysis of the dynamic behavior of the Van der Pol equation shows that the Van der Pol equation around the fixed point (0,0) is an unstable spiral point. All trajectories move towards a single periodic orbit.