K-Aljabar pada grup komutatif dan grup tidak komutatif

K-aljabar adalah salah satu struktur aljabar yang dibangun atas suatu grup. Misalkan G=(G,*) suatu grup terhadap operasi biner *, dan e adalah unsur identitas pada G. ∀,x,y di didefinisikan operasi x⊙y=x*y^(-1). Maka (G,*,⊙,e) memenuhi aksioma-aksioma tertentu yang disebut K-aljabar. Penelitian ini menggunakan metode library research untuk mengkaji sifat-sifat K-aljabar pada grup komutatif dan grup tidak komutatif.

Dari hasil penelitian ini dapat disimpulkan bahwa, sifat-sifat dari K-aljabar pada grup komutatif adalah sebagai berikut :
1. (e⊙x)⊙(e⊙y)=y⊙x=e⊙(x⊙y) (identitas & komutatif)
2. (x⊙z)⊙(y⊙z)=x⊙y (identitas)
3. e⊙(e⊙x)=x (identitas)
4. x⊙(e⊙y)=y⊙(e⊙x) (identitas)
5. (x⊙y)⊙(y⊙z)=(x⊙z^-1)⊙(y⊙y^-1)
6. (e⊙x)⊙((e⊙y)⊙(e⊙z))=(y⊙z)⊙x (identitas & komutatif)
7. e⊙(x⊙y)=y⊙x (identitas)
8. (y⊙x)⊙(x⊙y)=(y⊙y^-1)⊙(x⊙x^-1)
9. (x⊙y)⊙(u⊙v)=x⊙((e⊙v)⊙(e⊙y))⊙u
10. (x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z^-1)
11. (x⊙y)=e jika dan hanya jika x=y (invers & identitas)
12. x⊙(y⊙z)=(z⊙x^-1)⊙y
13. x⊙(y⊙u)⊙v=u⊙(x^-1)⊙(y⊙v^-1)
14. (x⊙y)⊙x=y^-1 (invers & identitas)
15. (x⊙z)⊙z=x⊙(z⊙z^-1)
16. Jika x⊙y=x⊙z maka y=z dan y⊙x=z⊙x maka y=z (kanselasi)

Sedangkan sifat-sifat dari K-Aljabar pada grup tidak komutatif, adalah sebagai berikut:

1. (x⊙y)⊙(u⊙v)=x⊙((e⊙v)⊙(e⊙y))⊙u
2. (x⊙y)⊙z=x⊙(z⊙y^-1)
3. e⊙(e⊙x)=x (identitas)
4. e⊙(x⊙y)=y⊙x=(e⊙x)⊙(e⊙y)=(x⊙y^-1)
5. x⊙y=e jika dan hanya jika x=y (invers & identitas)
6. (x⊙z)⊙(y⊙z)=x⊙y (invers & identitas)
7. (x⊙y)⊙x=x⊙(x⊙y^-1)
8. (x⊙z)⊙z=x⊙(z⊙z^-1)
9. x⊙(y⊙z)=(x⊙z^-1)⊙y
10 Jika x⊙y=x⊙z maka y=z dan y⊙x=z⊙x maka y=z (kanselasi)

Dari siaft-sifat K-aljabar pada grup komutatif ada yang berlaku di K-Aljabar pada grup tidak komutatif, begitu pula sebaliknya. adapun sifat-sifat tersebut adalah :
1. e⊙(e⊙x)=x
2. e⊙(x⊙y)=y⊙x
3. (x⊙y)=e jika dan hanya jika x=y
4. (x⊙z)⊙(y⊙z)=x⊙y
5. (x⊙z)⊙z=x⊙(z⊙z^-1)
6. (x⊙y)⊙(u⊙v)=x⊙((e⊙v)⊙(e⊙y)))⊙u
7. Jika x⊙y=x⊙z maka y=z dan y⊙x=z⊙x maka y=z