Sifat-sifat ring Euclid

Ring Euclid merupakan ring komutatif dan tidak memuat elemen pembagi nol dan terdapat pemetaan terhadap bilangan bulat non negatif sedemikian sehingga a=I maka d(a)=0, d(a)≤d(ab),∀a,b∈R dengan a≠I,b≠I, dan juga ∀a,b∈R,a≠I,b≠I ada q,r sehingga a=b ⃘ q*r, r=0 atau d(r)<d(b). Prosedur faktorisasi tunggal dari ring Euclid dapat dilakukan dengan menggunakan ring Z yang terdapat algoritma pembagian yang berlaku sifat-sifat keterbagain. Faktorisasi Tunggal pada ring Euclid merupakan proses menunjukkan bahwa setiap ring Euclid adalah daerah faktorisasi tunggal, dengan syarat setiap anggota tidak nol pada ring Euclid (R, ⃘,*) adalah sebuah unit di R atau dapat dinyatakan sebagai perkalian sejumlah bilangan berhingga yang merupakan bilangan prima di R. Misalkan (R, ⃘,*) adalah ring Euclid dan misalkan a adalah elemen R yang tidak nol sedemikian sehingga a=p_1° p_2°… °p_r= q_1° q°… °q_s dimana setiap p_i (1≤i≤r) sebagaimana halnya setiap q_j (1≤i≤s) adalah elemen prima dari R maka r=s dan setiap p_i berasosiasi dengan q_j dan q_j berasosiasi dengan p_i. Ring Euclid mempunyai karakteristik tersendiri. Karekteristik dari ring Euclid dapat diketahui dengan mempelajari sifat-sifat dari ring Euclid itu sendiri.

English:

Euclidean Ring is commutative ring and haven’t divisors zero element and there is mapping of non negative integers such that a = I so d(a)=0, d(a)≤d(ab),∀a,b∈R with a≠I,b≠I and then ∀a,b∈R,a≠I,b≠I there q,r so that a=b ⃘ q*r, r=0 or d(r)<d(b). Unique factorisation procedure of Euclidean ring can be done using ring Z which there divisors algorithm which divisority into effect. Unique factorisation of Euclidean ring is a procces that showsevery Euclidean ring is unique factorization domain, with conditionevery non zero element of an Euclidean ring (R, ⃘,*) is either a unit in R or it is expressible as the product of a finite number of prime elements of R. Let (R, ⃘,*) be an Euclidean ring and let a be an arbitrary non zero element of R such that a=p_1° p_2°… °p_r= q_1° q°… °q_s where each p_i (1≤i≤r) as well as each q_j (1≤i≤s) is a prime element of R, then r=s and every p_i associated with q_j and q_j is an associate of some p_i. Euclidean ring has special characteristic. That characteristic can be understood with studying properties of Euclidean ring it self.