Pelabelan Super Sisi Ajaib Pada Graf-Graf Star Dengan Titik Pusat Terhubung Oleh Satu Titik Pengait

INDONESIA :

Salah satu topik permasalahan dalam teori graf adalah pelabelan graf. Misalkan G=(V,E) adalah suatu graf dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E. Pelabelan super sisi ajaib pada graph G merupakan pelabelan total sisi ajaib yang memetakan V ke himpunan {1,2,3,…,p}. Pelabelan total sisi ajaib pada suatu graph G dengan order p dan ukuran q adalah fungsi bijektif f dari V∪E ke himpunan bilangan bulat {1,2,3,…,p+q} sedemikian hingga untuk masing-masing sisi xy di G berlaku f(x)+f(xy)+f(y)=k, dengan k konstanta.

Graf mempunyai jenis yang bermacam-macam, salah satunya yaitu graf star. Dalam penelitian ini pelabelan super sisi ajaib tidak pada graf star yang bersifat tunggal akan tetapi dikembangkan pada graf-graf star dengan titik pusat terhubung oleh satu titik pengait. Permasalahan yang diangkat dalam penelitian ini adalah bagaimana menentukan pelabelan super sisi ajaib pada graf-graf star dengan titik pusat terhubung oleh satu titik pengait. Pelabelan pada graf-graf star dengan titik pusat terhubung oleh satu titik pengait tersebut diamati sehingga diperoleh bentuk umum, yang selanjutnya dinyatakan sebagai konjektur yang dilengkapi dengan bukti- bukti.

Berdasarkan hasil penelitian, diperoleh bilangan ajaib pada graf star sebanyak m dengan masing-masing titik ujung n homogen atau heterogen adalah k=3(n_1+n_2+⋯+n_m)+5m−2,∀m≥2, dengan pola pengaitan sebagai berikut:
1. f(V_i^j)=n_1+ n_2+⋯+n_(j-1)+(J-1)+i,1 ≤i≤n_j,1≤j≤m
2. f(V_0^j) = n_1+ n_2+n_3+⋯+n_m+j+(m-1), 1≤j≤m
3. f(V^i)= n_1+ n_2+⋯+ n_1+l,1≤l≤(m-1)
4. f〖(V〗_0^j V_i^j)= n_1+ n_2+⋯+n_(j-1)+2(n_j+n_(j+1)+⋯+n_m)+4m-2j-i,1≤i≤n_j,1≤j≤m
5. f〖(V〗_0^j V^j)=n_1+n_2+⋯+n_1+2(n_(l+1)+n_(l+2)+⋯+n_m )+4m-(j+l+1),1≤j≤m,(j-1)≤l≤j
Penulis menyarankan untuk mengembangkan penelitian dengan mengkaji pada pelabelan graf-graf star dengan titik pusat terhubung oleh dua atau lebih titik pengait.

ENGLISH :

One topic of graph theory is graph labeling. Let = G=(V,E) is a graph G with vertex set V and edge set. Super Edge Magic Labeling in the graph G is the total edge magic labeling which maps V into the set {1,2,3,…,p}. The total edge magic labeling on a graph G which have p order and q size is a f bijection function from V∪E to the set of integer{1,2,3,…,p+q} such that for each edges of the xy in G forcef(x)+f(xy)+f(y)=k, with k a constant.

There is various form of graph, one of which is star graph. In this research, not discuss about super edge magic labeling on single star graph, but is developed on the star graphs that its center vertex are connected by single hook vertex. Studied problem in this research is how to determine the super edge magic labeling on star graph that its center vertex are connected by single hook vertex. Labeling on the star graph that its center vertex are connected by single hook vertex is observed in order to obtain the general form, which subsequently expressed as a conjecture that is equipped with the proof.

Pursuant to result of research obtained a magic number on m star graph that has homogeneous or heterogeneous end-vertex is k=3(n_1+n_2+⋯+n_m)+5m−2,∀m≥2, with the pattern below:
1. f(V_i^j)=n_1+ n_2+⋯+n_(j-1)+(J-1)+i,1 ≤i≤n_j,1≤j≤m
2. f(V_0^j) = n_1+ n_2+n_3+⋯+n_m+j+(m-1), 1≤j≤m
3. f(V^i)= n_1+ n_2+⋯+ n_1+l,1≤l≤(m-1)
4. f〖(V〗_0^j V_i^j)= n_1+ n_2+⋯+n_(j-1)+2(n_j+n_(j+1)+⋯+n_m)+4m-2j-i,1≤i≤n_j,1≤j≤m
5. f〖(V〗_0^j V^j)=n_1+n_2+⋯+n_1+2(n_(l+1)+n_(l+2)+⋯+n_m )+4m-(j+l+1),1≤j≤m,(j-1)≤l≤j

The authors suggest to expand the research by studying star graph that its center vertex are connected by double or more hook vertices.