Centralizer, normalizer, dan center subgrup dari grup simetri-n (Sn,∘)

INDONESIA:

Matematika mempunyai beberapa cabang keilmuan yang masing-masing mempunyai penerapan dengan berbagai disiplin ilmu lain. Salah satu dari cabang-cabang ilmu tersebut adalah Aljabar abstrak. Beberapa pokok bahasan dalam Aljabar adalah centralizer, normalizer, dan center subgrup dari grup simetri-n (Sn,∘). Grup simetri-n (Sn,∘) merupakan himpunan berhingga yang terdiri dari n elemen yang merupakan fungsi satu-satu dari himpunan S ke himpunan S itu sendiri. Jumlah elemen dari grup simetri adalah n!. Selanjutnya, subgrup dari grup simetri yang terdiri dari elemen rotasi dan refleksi ternyata juga memenuhi aksioma-aksioma grup, yaitu ... dengan r yang menunjukkan rotasi dan f yang menunjukkan refleksi. Subgrup ini tidak abelian, sehingga terdapat suatu pola
dalam menentukan centralizer, normalizer, dan center dari subgrupnya.

Dalam penelitian ini, metode yang digunakan adalah metode penelitian pustaka, dengan langkah-langkah penelitian sebagai berikut: (1) merumuskan masalah; (2) Mengidentifikasi unsur-unsur dari S3-S9; (3) Menentukan subgrup dari S3-S9; (4) Menentukan centralizer semua subgrup pada masing-masing S3-S9; (5) Menentukan center semua S3-S9; (6) Menentukan normalizer semua subgrup pada S3-S9; (7) Membuat pola umum banyaknya subgrup, tipe centralizer, normalizer, dan center subgrup di grup simetri-n; (8) Membuktikan pola umum banyaknya subgrup di grup simetri-n, tipe dari centralizer, normalizer, dan center subgrup di grup simetri-n; (9) Membuat kesimpulan.

Hasil dari penelitian ini adalah: (1) Pola banyaknya subgrup dari Sn adalah n+3 untuk n bilangan prima, dan a(n)+b(n) untuk n bilangan komposit. (2) Pola centralizer dari Pn, n bilangan prima adalah ... . Dan untuk bilangan komposit ... . (4) Pola normalizer dari Sn, n bilangan prima adalah ... . Dan untuk bilangan komposit ... ; (5) Pola center dari Sn adalah Z(Sn) = rn untuk n bilangan prima, dan Z(Sn) = ..., untuk n bilangan komposit.

ENGLISH:

Mathematics has same of branch of science of each it has application with other of all sorts of disciplines of sciences. One of those branches of science are abstract algebra. Some of the this topic at algebra are centralizer, normalizer, and center of subgroup from n-symmetric group (Sn,∘). n-symmetric group (Sn,∘) is finite set consist of element is one to one function from set S to itself. The number of element from symmetric group is n!. Furthermore, subgroup from symmetric group consist of element of rotation and reflection also fulfill axioms
of group, that is ... with r shows the rotation and f shows the reflection. This group is not abelian, so that there is a pattern to
determining centralizer, normalizer, and center from these subgroup.

In this research, research method the used is method research of book with the following research step: (1) Formulating problem; (2) Identifying elements from S3-S9; (3) Determining subgroup from S3-S9; (4) Determining centralizer of all subgroup at each S3-S9; (5) Determining center of all S3-S9; (6) Determining centralizer of all subgroup at each S3-S9; (7) Making general pattern of the number of subgroup, type centralizer, normalize, and center subgroup general; (9) Making conclusion.

The result from this research are: (1) Pattern of the number of subgroup Sn is a(n)+3 for n is prime number, and a(n)+b(n) for n composite number; (2) Pattern of centralizer to Sn, n is prime number is ... . And for composite number is ...; (3) Pattern of normalizer to Sn, n is prime number is ... . And for composite number is ...; (5) Pattern of center to Sn, n is prime number is Z(Sn) = rn and for composite number is Z(Sn) = ...