Eksistensi basis schauder di ruang banach

ABSTRAK

Penelitian ini mengkaji eksistensi Basis Schauder di Ruang Banach. Basis Schauder adalah barisan {x_n }_(n=1)^∞ di Ruang Banach disebut Basis Schauder jika untuk setiap x∈X terdapat barisan dari skalar {a_n }_(n=1)^∞ sedemikian sehingga x dapat dinyatakam sebagai bentuk kombinasi linier x=∑_(n=1)^∞▒〖x_n a_n 〗. Dalam penelitian ini di gunakan pendekatan studi pustaka untuk menganalisis konsep dan membuktikan teorema eksistensi Basis Schauder di Ruang Banach. Beberapa teorema dan proposisi terkait eksistensi Basis Schauder di Ruang Banach menjadi dasar utama dalam pembahasan ini. Hasil penelitian menunjukkan bahwa setiap Ruang Banach berdimensi tak hingga memiliki Basis Schauder, dan berbagai kondisi serta sifat-sifat dari basis ini diuraikan secara rinci. Penelitian ini memberikan pemahaman tentang karakteristik Ruang Banach, serta pentingnya Basis Schauder dalam analisis fungsional.

ABSTRACT

This research examines the existence of Schauder Bases in Banach Space. A Schauder bases is a sequence {x_n }_(n=1)^∞ in a Banach space X. It is called a Schauder bases if for every x∈X there is a sequence of scalars {a_n }_(n=1)^∞ such that x can be expressed as a linear combination x=∑_(n=1)^∞▒〖x_n a_n 〗. This research used a literature study approach to analyze concepts and to prove the existence theorem of Schauder Bases in Banach Space. Several theorems and propositions related to the existence of the Schauder Bases in Banach Space are the main foundation of this discussion. The results of the research show that every infinite-dimensional Banach Space has a Schauder Basis, and the various conditions and properties of this bases are described in detail. These findings give the understanding of the characteristics of Banach Space, as well as the importance of the Schauder Bases in functional analysis.

مستخلص البحث

تبحث هذه الدراسة في وجود قاعدة شودر في غرفة باناخ. قاعدة شودر عبارة عن صف {x_n }_(n=1)^∞ في مساحة باناخ يطلق عليه قاعدة شودر. إذا كان لكل x∈X ، يوجد تسلسل من الأعداد {a_n }_(n=1)^∞ بحيث يمكن التعبير عن x كمجموع خطي x=∑_(n=1)^∞▒〖x_n a_n 〗. استخدمت هذه الدراسة منهج دراسة الأدبيات لتحليل المفهوم وإثبات نظرية وجود قاعدة شودر في غرفة باناخ. العديد من النظريات والمقترحات المتعلقة بوجود قاعدة شودر في غرفة باناخ هي الأساس الرئيسي لهذا المناقشة. أظهرت نتائج البحث أن كل غرفة باناخ له قاعدة شودر غيرالأبعاد. ويتم وصف الطروف والخصائص المختلفة لهذه القاعدة بالتفصيل. توفر هذه الدرسة فهما لخصائص غرفة باناخ. بالأضافة إلى أهمّية قاعدة شودر في التحليل الوظيفي.