Keterbatasan operator integral fraksional di ruang morrey yang dimodifikasi

ABSTRAK

Keterbatasan operator integral fraksional pertama kalinya dibuktikan pada ruang Lebesgue pada tahun 1930 oleh Hardy-Littlewood-Sobolev. Salah satu studi lanjutan mengenai keterbatasan dari operator ini diteliti oleh Muhammad Idris, dkk pada tahun 2016 yang merupakan rujukan utama telah membahas tentang keterbatasan dari perluasan operator ini di ruang Morrey. Selanjutnya, dalam penelitian ini akan dibuktikan teorema yang merupakan gabungan dari hasil penelitian Adams, Chiarenza-Frasca mengenai keterbatasan operator integral fraksional di ruang Morrey yang dimodifikasi yang termuat pada sumber rujukan utama. Adapun dalam uraian pembuktiannya untuk membedakannya dengan pembuktian yang dilakukan oleh Chiarenza-Frasca, digunakan fakta ukuran Lebesgue pada proses penaksiran operatornya. Selain itu, dalam penelitian ini juga menggunakan dekomposisi diadik, ketaksamaan Holder dan operator maksimal Hardy-Littlewood beserta keterbatasannya di ruang Morrey. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa operator integral fraksional I_α merupakan operator yang terbatas di ruang Morrey yang dimodifikasi dari L^(p_1,q_1 ) (R^n) ke L^(p_2,q_2 ) (R^n). Kedepannya operator ini dapat diteliti lebih lanjut pada ruang lain selain ruang Morrey atau mengenai bentuk perluasan dari operator ini dan keterbatasannya di ruang terkait.

ABSTRACT

The boundedness of fractional integral operator was first proved on Lebesgue space in 1930 by Hardy-Littlewood-Sobolev. One of the advanced studies on the boundedness of this operator studied by Muhammad Idris, et al in 2016 which is the main reference has discussed the boundedness of the extension of this operator in Morrey space. Furthermore, this study will prove the theorem which is a combination of the research results of Adams, Chiarenza-Frasca regarding the boundedness of fractional integral operators in modified Morrey spaces contained in the main reference source. As for the description of the proof to distinguish it from the proof carried out by Chiarenza-Frasca, the fact of Lebesgue measure is used in the process of estimating the operator. In addition, this study also uses dyadic decomposition, Holder's inequality and the Hardy-Littlewood maximal operator and its boundedness in Morrey space. The results show that the fractional integral operator I_α is a finite operator in Morrey space modified from L^(p_1,q_1 ) (R^n) to L^(p_2,q_2 ) (R^n). In the future, this operator can be further investigated in other spaces besides Morrey space or about the extension form of this operator and its boundedness in related spaces.

مستخلص البحث

تم إثبات الحد من العوامل التكاملية الكسرية لأول مرة في فضاء Lebesgue في عام ١٩٣٠ بواسطة Hardy-Littlewood-Sobolev. تم بحث إحدى الدراسات الإضافية حول قيود هذا المشغل بواسطة محمد إدريس وآخرون في عام ٢٠١٦ وهو المرجع الرئيسي الذي ناقش حدود توسع هذا المشغل في فضاء موري ، ثم في هذه الدراسة سيتم إثبات نظرية وهي مزيج من نتائج بحث Adams و Chiarenza-Frasca فيما يتعلق بحدود عوامل التكامل الكسري في فضاء Morrey المعدل الموجود في المصدر المرجعي الرئيسي. ثم ,في هذه الدراسة ، تم إثبات النظرية التي هي مزيج من نتائج أبحاث Adams و Chiarenza-Frasca فيما يتعلق بقيود عوامل التكامل الكسري في مساحة Morrey المعدلة الموجودة في المصدر المرجعي الرئيسي. أما بالنسبة لوصف الدليل لتمييزه عن الدليل الذي قام به Chiarenza-Frasca ، تم استخدام حقيقة حجم Lebesgue في عملية تقييم المشغل. بالإضافة إلى ذلك ، تستخدم هذه الدراسة أيضا تحلل الحامل ، وعدم المساواة في مشغل Hardy-Littlewood الأقصى وحدوده في مساحة .Morreyأظهرت نتائج هذه الدراسة أن عامل التكامل الجزئي I_αهو عامل محدود في فضاء موري تم تعديله من L^(p_1,q_1 ) (R^n) إلى L^(p_2,q_2 ) (R^n ). في المستقبل ، يمكن إجراء مزيد من البحث عن هذا المشغل في غرف أخرى إلى جانب مساحة موري أو فيما يتعلق بشكل التوسع لهذا المشغل وقيوده في الغرف الذي له صلة.