Pembentukan representasi adjoin pada aljabar Lie

ABSTRAK

Aljabar merupakan cabang ilmu matematika yang dapat memberikan pemahaman dalam menyelesaikan masalah. Penelitian ini membahas salah satu bentuk aljabar yaitu aljabar Lie. Dimana aljabar Lie \mathbf{g} merupakan suatu ruang vektor atas lapangan \mathbb{F} yang dilengkapi dengan pemetaan bilinear yang dilengkapi oleh operasi komutator yang biasa disebut dengan operasi bracket Lie bernotasikan [-,-] dari \mathbf{g}\times\mathbf{g}\ ke \mathbf{g} jika memenuhi aksioma anti-simetri dan memenuhi Identitas Jacobi. Salah satu model dari aljabar Lie adalah himpunan semua operator linear dari ruang vektor V yang dinotasikan dengan gl(V). Selain itu, salah satu yang dibahas terkait aljabar Lie pada penelitian ini adalah teori representasi. Aljabar Lie menggunakan teori representasi dengan tujuan untuk menyederhanakan permasalahan aljabar abstrak ke dalam aljabar linear dengan cara mempresentasikan setiap anggotanya ke dalam bentuk pemetaan linear pada ruang vektor. Terdapat berbagai bentuk dari teori representasi pada aljabar Lie salah satunya ialah representasi adjoin. Dan representasi adjoin ini terbentuk dari adanya sebuah derivasi dan homomorfisma Lie. Adapun tujuan dari adanya penelitian ini adalah untuk mengetahui bagaimana pembentukan representasi adjoin pada aljabar Lie. Penelitian ini menggunakan metode kualitatif, Dimana metode tersebut menerapkan sebuah cara untuk mengumpulkan data-data atau bahan pustaka sebagai acuan berupa artikel, jurnal, bahkan buku-buku yang berkaitan dengan penelitian ini.

ABSTRACT

Algebra is a branch of mathematics that can provide understanding in solving problems. This research discusses one form of algebra, namely Lie algebra. Where Lie algebra \mathbf{g} is a vector space over the field \mathbb{F} equipped with a bilinear mapping equipped by a commutator operation commonly called the Lie bracket operation denoted [-,-] from \mathbf{g}\times\mathbf{g} to \mathbf{g} if it satisfies the anti-symmetry axiom and satisfies Jacobi Identity. One model of Lie algebra is the set of all linear operators of a vector space V denoted by gl(V). In addition, one of the discussions related to Lie algebra in this research is representation theory. Lie algebra uses representation theory with the aim of simplifying abstract algebraic problems into linear algebra by presenting each of its members in the form of linear mappings on vector spaces. There are various forms of representation theory in Lie algebra, one of which is adjoin representation. And this adjoin representation is formed from a derivation and Lie homomorphism. The purpose of this research is to find out how the formation of adjoin representation on Lie algebra. This research uses a qualitative method, where the method applies a way to collect data or library materials as a reference in the form of articles, and books related to Lie algebra.

مستخلص البحث

الجبر هو فرع من الرياضيات يمكنه توفير الفهم في حل المشكلات. يناقش هذا البحث أحد أشكال الجبر وهو جبر لي. حيث يكون جبر لي \mathbf{g} عبارة عن مساحة متجهة فوق الحقل \mathbb{F} وهي مجهزة بتعيين ثنائي الخط المجهز بعملية عاكس والتي تسمى عادةً عملية قوسية لي مع الترميز [-,-] من \mathbf{g}\times\mathbf{g} إلى \mathbf{g} إذا كانت تلبي البديهية المضادة للتناظر وترضي هوية جاكوبي. أحد نماذج جبر ‏لي هو مجموعة جميع العوامل الخطية من الفضاء المتجه V والذي يُشار إليه بـ gl(V). وبصرف النظر عن ذلك، هناك شيء واحد تمت مناقشته بخصوص جبر لي في هذا البحث وهو نظرية التمثيل. يستخدم جبر لي نظرية التمثيل بهدف تبسيط مشاكل الجبر التجريدي إلى جبر خطي من خلال تقديم كل عضو في شكل خريطة خطية في الفضاء المتجه. هناك أشكال مختلفة من نظرية التمثيل في جبر لي، أحدها هو التمثيل المرافق. وهذا التمثيل يتكون من اشتقاق وتماثل لي. الهدف من هذا البحث هو معرفة كيفية تشكيل التمثيل المرافق في جبر لي. استخدم هذا البحث منهجا نوعيا، حيث يطبق هذا المنهج طريقة جمع البيانات أو المواد المكتبية كمراجع في شكل مقالات ومجلات وحتى الكتب المتعلقة بهذا البحث.