Sifat-Sifat fungsi yang terdiferensial pada himpunan bilangan real

ABSTRAK

Banyak dibahas pada matematika bidang analisis khusunya kalkulus, limit dari suatu fungsi merupakan suatu nilai yang didekati fungsi saat peubah bebasnya mendekati suatu nilai atau tak hingga. Suatu fungsi f dikatakan terdiferensial pada suatu titik x_0 pada domainnya apabila nilai lim┬(h→0)⁡〖(f(x_0+h)-f(x_0))/h〗 ada. Penelitian ini bertujuan untuk menunjukkan dan membuktikan sifat fungsi-fungsi yang terdiferensial pada himpunan bilangan real yang telah diperkenalkan oleh Parzynski dan Zipse (1987). Dibuktikan bahwa turunan ekstremum lokal fungsi bernilai nol menggunakan definisi ekstremum lokal dan turunan. Kemudian teorema Rolle diaplikasikan untuk membuktikan teorema nilai rata-rata Cauchy dan teorema nilai rata-rata yang merupakan kasus khusus teorema nilai rata-rata Cauchy saat g(x)=x. Menggunakan teorema nilai rata-rata serta definisi-definisi yang diketahui, selanjutnya ditunjukkan dan dibuktikan kekontinuan seragam, kemonotonan naik dan kemonotonan turun fungsi terdiferensial serta keterkaitannya dengan Lipschitz dengan syarat-syarat tertentu.

ABSTRACT

The limit of a function is a value that the function approaches when the independent variable approaches a value or infinity. A function f is said to be differentiable at a point x_0 in its domain if the value lim┬(h→0)⁡〖(f(x_0+h)-f(x_0))/h〗 exists. This research aims to show and prove the properties of differentiable functions on real number sets which were introduced by Parzynski and Zipse (1987). It is proven that the derivative of the local extremum of the function is zero using the definition of local extremum and derivative. Then Rolle’s theorem is applied to prove Cauchy’s mean value theorem and the mean value theorem which is a special case of Cauchy’s mean value theorem when g(x)=x. Using the mean value theorem and known definitions, we then showed and proved with certain conditions the uniform continuity, increasing monotonicity and decreasing monotonicity of differentiable functions and their relationship to Lipschitz.

مستخلص البحث

نوقشت على النطاق الكثير في مجل التحليل الرياضي ، وخاصة في حساب التفاضل والتكامل ، حد الدالة الذي له قيمة تقترب منها دالة عندما يكون متغيرها الحر قريبا من القيمة أو اللانهاية. ويقال إن الدالة f متباينة عند نقطة x_0 في مجالها إذا كانت قيمة lim┬(h→0)⁡〖(f(x_0+h)-f(x_0))/h〗 موجودة. تهدف هذه الدراسة إلى إظهار وإثبات خصائص الدوال المتمايزة في مجموعة الأعداد الحقيقية التي قدمها Parzynski and Zipse 1987)). ثبت أن مشتق الدالة القصوى المحلية له قيمة صفر باستخدام تعريف الحد الأقصى المحلي والمشتق. ثم يتم تطبيق نظرية رول لإثبات نظرية قيمة كوشي المتوسطة ونظرية القيمة المتوسطة وهي حالة خاصة لنظرية قيمة كوشي المتوسطة عندما g(x)=x. باستخدام نظرية متوسط القيمة والتعريفات المعروفة ، يتم عرض وإثبات الاستمرارية الموحدة والرتابة الصاعدة والرتابة الهابطة لل دالة المتمايزة وعلاقتها مع Lipschitz في ظل ظروف معينة.