Konstruksi fungsi regular dari fungsi panharmonik bernilai kompleks

Fungsi kompleks merupakan fungsi yang terdiri dari variabel yang bernilai real dan variabel yang bernilai imaginer. Suatu fungsi kompleks f(z) u(x,y) iv(x,y) jika dideferensialkan didapatkan persamaan Cauchy-Riemann ... . Persamaan differensial tersebut jika kita differensialkan lagi akan menghasilkan persamaan ... yang biasa disebut fungsi harmonik. Dalam puasa orang Muslim terdapat tiga tingkatan yaitu puasanya orang awam, puasanya orang khusus, dan puasanya orang khusus lebih dari khusus, jadi jika didefferensialkan tingkatan tersebut menjadi turunan ketiga. Jika suatu fungsi harmonik yang diperumum menghasilkan persamaan ... dimana konstanta real positif biasa disebut fungsi panharmonik. Jika fungsi panharmonik dipenuhi maka selanjutnya bisa dibuktikan bahwa fungsi tersebut merupakan fungsi regular apabila memenuhi persamaan ... .

Konstruksi fungsi regular dari fungsi panharmonik yang bernilai kompleks menunjukkan bahwa terdapat fungsi regular yang bagian realnya u. Dari konstruksi tersebut juga terdapat fungsi regular yang bagian imaginernya u. Selain dengan menggunakan perumuman Cauchy-Riemann, untuk menguji ke-regularan suatu fungsi panharmonik yang bernilai kompleks juga bisa menggunakan operator L, dimana ... yang memenuhi persamaan ... . Dalam tulisan ini juga dibuktikan beberapa penyajian sifat integral kontur suatu fungsi regular.