Penjumlahan langsung pada modul

INDONESIA :

Pada struktur aljabar dibahas mengenai dua himpunan tak kosong dengan dua operasi biner yang disebut dengan modul. Selanjutnya dari modul sendiri dapat dikembangkan menjadi beberapa sub pembahasan, di antaranya adalah penjumlahan langsung. Perkalian langsung dari kumpulan R-modul disebut dengan penjumlahan langsung luar dan penjumlahan langsung dari kumpulan submodul disebut dengan penjumlahan langsung dalam. Tetapi penjumlahan langsung luar dan penjumlahan langsung dalam menggunakan notasi yang sama. Berdasarkan latar belakang tersebut penelitian dilakukan dengan tujuan untuk menjelaskan tentang penjumlahan langsung pada modul dan sifat-sifatnya.

Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan metode kajian kepustakaan atau studi literatur. Data yang di gunakan dalam penelitian ini adalah teorema homomorfisme modul, teorema dasar isomorfisme modul dan definisi submodul-submodul bebas dari modul M.

Berdasarkan pembahasan dapat diperoleh bahwa penjumlahan langsung pada modul ada dua jenis yaitu penjumlahan langsung luar dan penjumlahan langsung dalam. Di antara sifat-sifat penjumlahan langsung pada modul adalah :
(1) Jika ... = ... , maka ... = ... dengan ... dan ... merupakan submodul-submodul bebas M, untuk setiap i = 1, 2, ..., k .
(2) Jika ... , maka ... adalah modul bebas, dengan ... submodul-submodul bebas M.
(3) Misal submodul-submodul bebas, dan ... = ... . Akan berlaku jika ... adalah submodul-submodul ... , maka submodul-submodul ... adalah bebas.
(4) M = ... , dengan ... submodul M. Jika ... , maka M = ... . Jika ... = ... , maka M = ... .